Achar as equações dimensionais em relação a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E) das seguintes grandezas: comprimento, massa e tempo. Tem-se que
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dimensionais para comprimento (L), massa (M) e tempo (T) usando como base a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E). Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a relacionar diferentes grandezas físicas através de suas dimensões básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as dimensões básicas das grandezas que já conhecemos:
- Quantidade de movimento (q): sua dimensão é [q] = M L T⁻¹
- Momento de inércia (I): foi dado que [I] = M L²
- Energia (E): sabemos que a dimensão da energia é [E] = M L² T⁻²
Nosso objetivo é expressar L, M e T em termos de [q], [I] e [E].
Passo 3
Vamos supor que o comprimento L pode ser expresso como uma combinação das potências de [q], [I] e [E]. Então temos:
Agora, substituímos as dimensões conhecidas:
Passo 4
Expandindo os termos:
Como queremos que isso seja igual a L, que tem dimensão M⁰ L¹ T⁰, igualamos os expoentes:
- Para M: a + b + c = 0
- Para L: a + 2b + 2c = 1
- Para T: -a - 2c = 0
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo a na primeira equação:
Substituindo a e b na segunda equação:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de a, b e c, podemos escrever a expressão para L: