Achar as equações dimensionais em relação a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E) das seguintes grandezas: comprimento, massa e tempo. Tem-se que [I]=M L^2
Resposta: L=[q]^-1[I]^12[E]^12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dimensionais para comprimento (L), massa (M) e tempo (T) usando como base a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E). Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a relacionar diferentes grandezas físicas através de suas dimensões básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as dimensões básicas das grandezas que já conhecemos:
  • Quantidade de movimento (q): sua dimensão é [q] = M L T⁻¹
  • Momento de inércia (I): foi dado que [I] = M L²
  • Energia (E): sabemos que a dimensão da energia é [E] = M L² T⁻²
Nosso objetivo é expressar L, M e T em termos de [q], [I] e [E].

Passo 3

Vamos supor que o comprimento L pode ser expresso como uma combinação das potências de [q], [I] e [E]. Então temos:
L = [q]^a [I]^b [E]^c
Agora, substituímos as dimensões conhecidas:
L = (M L T^-1)^a (M L^2)^b (M L^2 T^-2)^c

Passo 4

Expandindo os termos:
L = M^a + b + c cdot L^a + 2b + 2c cdot T^-a - 2c
Como queremos que isso seja igual a L, que tem dimensão M⁰ L¹ T⁰, igualamos os expoentes:
  1. Para M: a + b + c = 0
  2. Para L: a + 2b + 2c = 1
  3. Para T: -a - 2c = 0

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da terceira equação:
-a - 2c = 0 Rightarrow a = -2c
Substituindo a na primeira equação:
-2c + b + c = 0 Rightarrow b - c = 0 Rightarrow b = c
Substituindo a e b na segunda equação:
-2c + 2c + 2c = 1 Rightarrow 2c = 1 Rightarrow c = 12
Então:
b = 12
a = -2 times 12 = -1

Passo 6

Agora que encontramos os valores de a, b e c, podemos escrever a expressão para L:
L = [q]^-1 [I]^12 [E]^12

Resposta

L = [q]^-1 [I]^12 [E]^12

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