Achar as equações dimensionais em relação a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E) das seguintes grandezas: comprimento, massa e tempo. Tem-se que
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dimensionais para comprimento (L), massa (M) e tempo (T) usando como base a quantidade de movimento (q), momento de inércia (I) e energia (E). Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a relacionar diferentes grandezas físicas através de suas dimensões básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as dimensões básicas das grandezas que já conhecemos:
  • Quantidade de movimento (q): sua dimensão é [q] = M L T⁻¹
  • Momento de inércia (I): foi dado que [I] = M L²
  • Energia (E): sabemos que a dimensão da energia é [E] = M L² T⁻²
Nosso objetivo é expressar L, M e T em termos de [q], [I] e [E].

Passo 3

Vamos supor que o comprimento L pode ser expresso como uma combinação das potências de [q], [I] e [E]. Então temos:
Agora, substituímos as dimensões conhecidas:

Passo 4

Expandindo os termos:
Como queremos que isso seja igual a L, que tem dimensão M⁰ L¹ T⁰, igualamos os expoentes:
  1. Para M: a + b + c = 0
  2. Para L: a + 2b + 2c = 1
  3. Para T: -a - 2c = 0

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo a na primeira equação:
Substituindo a e b na segunda equação:
Então:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de a, b e c, podemos escrever a expressão para L:

Resposta

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(a)
(b)
©
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(e)
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