Achar a equação da elipse com centro em
foco
e que passa por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem o centro em
, um dos focos em
e passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaríamos lembrar das fórmulas básicas das elipses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Centro da elipse:
- Foco da elipse:
- Ponto que pertence à elipse:
Sabemos que a distância entre o centro e os focos em uma elipse é representada por
, e para uma elipse horizontal, a equação é:
onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior, e
é o semi-eixo menor. Além disso, a relação entre
,
e
é:
Passo 3
Vamos calcular a distância
entre o centro
e o foco
. Como os pontos têm a mesma coordenada
, a distância é apenas a diferença nas coordenadas
:
Passo 4
Sabendo que a elipse passa pelo ponto
, vamos usar essa informação para encontrar
. Na equação da elipse, substituímos
por
e
por
:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando da relação
, e já sabemos que
, temos:
Vamos substituir
na equação anterior:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, unificamos os denominadores:
Simplificando o numerador:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando para formar uma equação igual a zero:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática em termos de
. Seja
, então temos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções são:
Como
não pode ser negativo, temos
.
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Passo 9
Finalmente, com
,
,
e
, podemos escrever a equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: