Achar a equação da elipse com centro em (4,-1) foco (1,-1) e que passa por (8,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem o centro em (4, -1), um dos focos em (1, -1) e passa pelo ponto (8, 0). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaríamos lembrar das fórmulas básicas das elipses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Centro da elipse: (4, -1)
  • Foco da elipse: (1, -1)
  • Ponto que pertence à elipse: (8, 0)
Sabemos que a distância entre o centro e os focos em uma elipse é representada por c, e para uma elipse horizontal, a equação é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor. Além disso, a relação entre a, b e c é:
a^2 = b^2 + c^2

Passo 3

Vamos calcular a distância c entre o centro (4, -1) e o foco (1, -1). Como os pontos têm a mesma coordenada y, a distância é apenas a diferença nas coordenadas x:
c = |4 - 1| = 3

Passo 4

Sabendo que a elipse passa pelo ponto (8, 0), vamos usar essa informação para encontrar a. Na equação da elipse, substituímos (x, y) por (8, 0) e (h, k) por (4, -1):
(8 - 4)^2a^2 + (0 - (-1))^2b^2 = 1
Simplificando:
16a^2 + 1b^2 = 1

Passo 5

Lembrando da relação a^2 = b^2 + c^2, e já sabemos que c = 3, temos:
a^2 = b^2 + 9
Vamos substituir a^2 na equação anterior:
16b^2 + 9 + 1b^2 = 1

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar b^2. Primeiro, unificamos os denominadores:
16b^2 + (b^2 + 9)b^2(b^2 + 9) = 1
Simplificando o numerador:
17b^2 + 9b^2(b^2 + 9) = 1
Multiplicando ambos os lados por b^2(b^2 + 9):
17b^2 + 9 = b^2(b^2 + 9)
Expandindo o lado direito:
17b^2 + 9 = b^4 + 9b^2
Rearranjando para formar uma equação igual a zero:
b^4 - 8b^2 - 9 = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática em termos de b^2. Seja u = b^2, então temos:
u^2 - 8u - 9 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
u = 8 pm raiz64 + 362 = 8 pm raiz1002 = 8 pm 102
Assim, as soluções são:
u = 182 = 9 e u = -22 = -1
Como b^2 não pode ser negativo, temos b^2 = 9.

Passo 8

Agora que temos b^2 = 9, podemos encontrar a^2 usando a relação a^2 = b^2 + c^2:
a^2 = 9 + 9 = 18

Passo 9

Finalmente, com h = 4, k = -1, a^2 = 18 e b^2 = 9, podemos escrever a equação da elipse:
(x - 4)^218 + (y + 1)^29 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 4)^218 + (y + 1)^29 = 1

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