Escrever a equação da elipse de centro na origem e focos no eixo dos
que passa pelos pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que está no centro da origem, com os focos no eixo dos
. Além disso, sabemos que ela passa por dois pontos:
e
. Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e resolver para os parâmetros que a definem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula padrão da elipse centrada na origem com os focos no eixo dos
:
Aqui,
é o semi-eixo maior (distância do centro até a extremidade no eixo dos
) e
é o semi-eixo menor (distância do centro até a extremidade no eixo dos
).
Passo 3
Sabemos que os focos estão no eixo dos
, e a relação entre
,
e
(a distância do centro aos focos) é dada por:
Mas, como ainda não conhecemos
,
ou
, vamos focar primeiro em usar os pontos que a elipse passa para criar equações e resolver para
e
.
Passo 4
Vamos substituir os pontos dados na equação da elipse para criar duas equações:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Para facilitar, vamos multiplicar a segunda equação por 9 para eliminar o denominador:
Agora, temos:
Passo 7
Vamos chamar
e
. Assim, o sistema fica:
Agora, vamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 8
Podemos multiplicar a primeira equação por 16 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação dessa nova equação:
Passo 9
Agora que temos
, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Passo 10
Agora, lembrando que
e
:
Passo 11
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: