Escrever a equação da elipse de centro na origem e focos no eixo dos x que passa pelos pontos -3,2 raiz3 e(4, 4 raiz53).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que está no centro da origem, com os focos no eixo dos . Além disso, sabemos que ela passa por dois pontos: e . Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e resolver para os parâmetros que a definem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula padrão da elipse centrada na origem com os focos no eixo dos x^2a^2 + y^2b^2 = 1 :
Aqui, é o semi-eixo maior (distância do centro até a extremidade no eixo dos ) e é o semi-eixo menor (distância do centro até a extremidade no eixo dos ).

Passo 3

Sabemos que os focos estão no eixo dos c^2 = a^2 - b^2 , e a relação entre , e (a distância do centro aos focos) é dada por:
Mas, como ainda não conhecemos , ou , vamos focar primeiro em usar os pontos que a elipse passa para criar equações e resolver para e .

Passo 4

Vamos substituir os pontos dados na equação da elipse para criar duas equações:
Para o ponto (-3)^2a^2 + (2raiz3)^2b^2 = 1 Rightarrow 9a^2 + 12b^2 = 1 :
4^2a^2 + (4raiz53)^2b^2 = 1 Rightarrow 16a^2 + 809b^2 = 1
Para o ponto :

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
9a^2 + 12b^2 = 1 16a^2 + 809b^2 = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Para facilitar, vamos multiplicar a segunda equação por 9 para eliminar o denominador:
144a^2 + 80b^2 = 9
Agora, temos:
9a^2 + 12b^2 = 1 144a^2 + 80b^2 = 9

Passo 7

Vamos chamar 9A + 12B = 1 144A + 80B = 9 e . Assim, o sistema fica:
Agora, vamos resolver esse sistema para e .

Passo 8

Podemos multiplicar a primeira equação por 16 para facilitar a eliminação:
144A + 192B = 16
Subtraindo a segunda equação dessa nova equação:
144A + 192B - (144A + 80B) = 16 - 9 112B = 7 B = 7112 = 116

Passo 9

Agora que temos 9A + 12(116) = 1 9A + 1216 = 1 9A + 34 = 1 9A = 1 - 34 9A = 14 A = 136 , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 10

Agora, lembrando que 1a^2 = 136 Rightarrow a^2 = 36 1b^2 = 116 Rightarrow b^2 = 16 e :

Passo 11

Com os valores de x^236 + y^216 = 1 e encontrados, podemos escrever a equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
x^236 + y^216 = 1

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