Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
  1. 4 y^2-16 x^2=784

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: Precisamos determinar os vértices, os focos, a excentricidade, a amplitude focal e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação .
Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão da hipérbole, identificar os parâmetros principais e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação y^2a^2 - x^2b^2 = 1 na forma padrão da hipérbole. A forma padrão é:
4 y^2784 - 16 x^2784 = 784784
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 784:
y^2196 - x^249 = 1
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole vertical.

Passo 3

Na forma padrão a^2 = 196 Rightarrow a = raiz196 = 14 , identificamos os parâmetros b^2 = 49 Rightarrow b = raiz49 = 7 e :
Esses valores nos ajudarão a encontrar os vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as assíntotas.

Passo 4

Vértices:
Para uma hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância (0, pm a) = (0, pm 14) acima e abaixo do centro. Como a equação está centrada na origem (0,0), os vértices são:
c = raiza^2 + b^2 = raiz196 + 49 = raiz245 = 7 raiz5
Focos:
Os focos estão localizados a uma distância (0, pm c) = (0, pm 7 raiz5) do centro, onde é calculado por:
Portanto, os focos são:

Passo 5

Excentricidade:
A excentricidade e = ca = 7 raiz514 = raiz52 de uma hipérbole é dada por:
2c = 2 times 7 raiz5 = 14 raiz5
Amplitude Focal:
A amplitude focal é a distância entre os focos, que é :

Passo 6

Equações das Assíntotas:
As assíntotas de uma hipérbole vertical na forma y = pm ab x são dadas por:
y = pm 147 x Rightarrow y = pm 2x
Substituindo os valores de e :

Resposta

Os vértices da hip��rbole são e ;
os focos estão em e ;
a excentricidade é ;
a amplitude focal é ;
e as equações das assíntotas são e .

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