Determinar:
- os vértices
- os focos
- a excentricidade
- a amplitude focal
- as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
-
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: Precisamos determinar os vértices, os focos, a excentricidade, a amplitude focal e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação
.
Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão da hipérbole, identificar os parâmetros principais e aplicar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação
na forma padrão da hipérbole. A forma padrão é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 784:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole vertical.
Passo 3
Na forma padrão
, identificamos os parâmetros
e
:
Esses valores nos ajudarão a encontrar os vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as assíntotas.
Passo 4
Vértices:
Para uma hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro. Como a equação está centrada na origem (0,0), os vértices são:
Focos:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde
é calculado por:
Portanto, os focos são:
Passo 5
Excentricidade:
A excentricidade
de uma hipérbole é dada por:
Amplitude Focal:
A amplitude focal é a distância entre os focos, que é
:
Passo 6
Equações das Assíntotas:
As assíntotas de uma hipérbole vertical na forma
são dadas por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
Os vértices da hip��rbole são
e
;
os focos estão em
e
;
a excentricidade é
;
a amplitude focal é
;
e as equações das assíntotas são
e
.