Achar as equações das elipse que têm um dos focos em (-1,-1), diretriz x=0 e excentricidade e=raiz22.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as equações de todas as elipses que têm um dos focos em , uma diretriz na linha e uma excentricidade . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente cônicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as elipses são definidas em relação aos seus focos, diretriz e excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias a dois pontos fixos chamados focos é constante. A excentricidade da elipse mede o quanto ela é alongada; para uma elipse, . A diretriz é uma linha fixa usada para definir o lugar geométrico dos pontos da elipse.

Passo 3

A fórmula que relaciona a excentricidade e = ca , a distância focal (distância do centro ao foco) e o semi-eixo maior é:
Com essa equação, podemos encontrar a relação entre essas medidas da elipse.

Passo 4

Além disso, sabemos que a distância da diretriz até o centro da elipse é dada por:
d = ae
Como a diretriz está na linha , vamos considerar que o eixo maior da elipse está paralelo ao eixo .

Passo 5

Agora, vamos identificar o centro da elipse. Sabemos que um dos focos está em . Vamos chamar o centro de . A distância entre o centro e o foco é .

Passo 6

Usando a fórmula da excentricidade:
raiz22 = ca implies c = raiz22 a
E a distância da diretriz:
d = araiz22 = 2araiz2 = raiz2a
Sabemos que a diretriz está em e que o centro está a uma distância dela.

Passo 7

Assumindo que o eixo maior é paralelo ao eixo h = raiz2a , o centro c = raiz2a - (-1) = raiz2a + 1 estará a distância raiz22a = raiz2a + 1 da diretriz . Portanto:
Como um dos focos está em e o centro está em , temos que:
Mas também sabemos que . Então:

Passo 8

Resolvendo a equação para raiz22a - raiz2a = 1 implies -raiz22a = 1 implies a = -2raiz2 = -raiz2 :
a = raiz2
Como representa um comprimento, descartamos a solução negativa:

Passo 9

Agora que temos c = raiz22 times raiz2 = 22 = 1 , podemos encontrar :
Então, a distância do centro ao foco é 1.

Passo 10

Sabemos que o centro está a h = 2 unidades da diretriz h - c = 2 - 1 = 1 (posição do foco) . Então:
E como o foco está em , temos:
çã
Mas como o foco dado é em , precisamos ajustar nossas considerações iniciais. Parece que houve um erro na localização do centro. Vamos reconsiderar.

Passo 11

Na verdade, o centro está a h = 2 unidades da diretriz h - c = 2 - 1 = 1 (no eixo x) , então:
E o foco está a unidade do centro. Portanto, a posição do foco é:
Mas o foco dado é , então o centro deve estar em .

Passo 12

Agora, com o centro (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , e , a equação padrão da elipse com eixo maior paralelo ao eixo é:
Precisamos encontrar , o semi-eixo menor.

Passo 13

Sabemos que:
b = a raiz1 - e^2 = raiz2 raiz1 - (raiz22)^2 = raiz2 raiz1 - 24 = raiz2 times raiz22 = 1

Passo 14

Agora, substituindo (x - 1)^22 + (y + 1)^21 = 1 , , e na equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^22 + (y + 1)^2 = 1

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