Achar as equações das elipse que têm um dos focos em , diretriz e excentricidade .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as equações de todas as elipses que têm um dos focos em , uma diretriz na linha e uma excentricidade . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente cônicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as elipses são definidas em relação aos seus focos, diretriz e excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias a dois pontos fixos chamados focos é constante. A excentricidade da elipse mede o quanto ela é alongada; para uma elipse, . A diretriz é uma linha fixa usada para definir o lugar geométrico dos pontos da elipse.
Passo 3
A fórmula que relaciona a excentricidade , a distância focal (distância do centro ao foco) e o semi-eixo maior é:
Com essa equação, podemos encontrar a relação entre essas medidas da elipse.
Passo 4
Além disso, sabemos que a distância da diretriz até o centro da elipse é dada por:
Como a diretriz está na linha , vamos considerar que o eixo maior da elipse está paralelo ao eixo .
Passo 5
Agora, vamos identificar o centro da elipse. Sabemos que um dos focos está em . Vamos chamar o centro de . A distância entre o centro e o foco é .
Passo 6
Usando a fórmula da excentricidade:
E a distância da diretriz:
Sabemos que a diretriz está em e que o centro está a uma distância dela.
Passo 7
Assumindo que o eixo maior é paralelo ao eixo , o centro estará a distância da diretriz . Portanto:
Como um dos focos está em e o centro está em , temos que:
Mas também sabemos que . Então:
Passo 8
Resolvendo a equação para :
Como representa um comprimento, descartamos a solução negativa:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar :
Então, a distância do centro ao foco é 1.
Passo 10
Sabemos que o centro está a unidades da diretriz . Então:
E como o foco está em , temos:
Mas como o foco dado é em , precisamos ajustar nossas considerações iniciais. Parece que houve um erro na localização do centro. Vamos reconsiderar.
Passo 11
Na verdade, o centro está a unidades da diretriz , então:
E o foco está a unidade do centro. Portanto, a posição do foco é:
Mas o foco dado é , então o centro deve estar em .
Passo 12
Agora, com o centro , e , a equação padrão da elipse com eixo maior paralelo ao eixo é:
Precisamos encontrar , o semi-eixo menor.
Passo 13
Sabemos que:
Passo 14
Agora, substituindo (x - 1)^22 + (y + 1)^21 = 1 , , e na equação da elipse: