Determinar:
- os vértices
- os focos
- a excentricidade
- a amplitude focal
- as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar várias características da hipérbole dada pela equação
. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das fórmulas padrão das hipérboles, identificar os parâmetros principais como vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as equações das assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole horizontal é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir os dois lados por 25 para deixar na forma padrão:
Então, temos que
e
. Isso nos dá
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Como nossa hipérbole está centrada na origem
, os vértices serão:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por
, onde
. Calculando:
Então, os focos estão em:
Passo 5
Vamos calcular agora a excentricidade
da hipérbole. A excentricidade é a razão entre
e
:
Passo 6
A amplitude focal, ou largura focal, é a distância entre os vértices. Como nossos vértices estão em
e
, a amplitude focal é:
Passo 7
Por último, vamos encontrar as equações das assíntotas da hipérbole. As assíntotas para uma hipérbole horizontal têm as equações:
Substituindo
e
:
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Amplitude Focal:
- Equações das Assíntotas:
e