Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
  1. x^2-y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar várias características da hipérbole dada pela equação . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das fórmulas padrão das hipérboles, identificar os parâmetros principais como vértices, focos, excentricidade, amplitude focal e as equações das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação é x^225 - y^225 = 1 . Vamos dividir os dois lados por 25 para deixar na forma padrão:
Então, temos que e . Isso nos dá e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão localizados a uma distância V1 = (-a, 0) = (-5, 0) do centro ao longo do eixo x. Como nossa hipérbole está centrada na origem V2 = (a, 0) = (5, 0) , os vértices serão:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por c = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2 , onde F1 = (-c, 0) = (-5raiz2, 0) . Calculando:
F2 = (c, 0) = (5raiz2, 0)
Então, os focos estão em:

Passo 5

Vamos calcular agora a excentricidade e = ca = 5raiz25 = raiz2 da hipérbole. A excentricidade é a razão entre e :

Passo 6

A amplitude focal, ou largura focal, é a distância entre os vértices. Como nossos vértices estão em Amplitude Focal = 2a = 2 times 5 = 10 e , a amplitude focal é:

Passo 7

Por último, vamos encontrar as equações das assíntotas da hipérbole. As assíntotas para uma hipérbole horizontal têm as equações:
y = pm bax
Substituindo y = pm 55x e y = pm x :

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude Focal:
  • Equações das Assíntotas: e

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