Achar a equação da elipse com centro em
vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro em
, um dos vértices em
e a excentricidade
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, para achar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse, que já sabemos ser
. Isso nos ajuda a definir a posição geral da elipse no plano cartesiano.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a distância do centro até o vértice. O vértice dado é
, então a distância vertical entre o centro
e o vértice
é:
Esse valor
representa o semi-eixo maior da elipse.
Passo 4
A excentricidade
da elipse é dada por
, onde
é a distância do centro até os focos. Sabemos que
e
, então podemos encontrar
:
Passo 5
Com
e
conhecidos, podemos encontrar o semi-eixo menor
usando a relação:
Passo 6
Agora, sabemos que a elipse está vertical porque os vértices estão alinhados ao longo do eixo y. A equação padrão de uma elipse vertical com centro em
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da elipse é: