Achar a equação da elipse com centro em (3,1) vértice (3,-2) e=13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro em (3,1), um dos vértices em (3,-2) e a excentricidade e = 13. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse, que já sabemos ser (3,1). Isso nos ajuda a definir a posição geral da elipse no plano cartesiano.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância do centro até o vértice. O vértice dado é (3,-2), então a distância vertical entre o centro (3,1) e o vértice (3,-2) é:
a = |1 - (-2)| = 3
Esse valor a representa o semi-eixo maior da elipse.

Passo 4

A excentricidade e da elipse é dada por e = ca, onde c é a distância do centro até os focos. Sabemos que e = 13 e a = 3, então podemos encontrar c:
c = e times a = 13 times 3 = 1

Passo 5

Com a e c conhecidos, podemos encontrar o semi-eixo menor b usando a relação:
b = raiza^2 - c^2 = raiz3^2 - 1^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora, sabemos que a elipse está vertical porque os vértices estão alinhados ao longo do eixo y. A equação padrão de uma elipse vertical com centro em (h,k) é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo os valores que encontramos:
  • h = 3
  • k = 1
  • a = 3
  • b = 2raiz2

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 3)^28 + (y - 1)^29 = 1

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