Determinar a equação de uma parábola de eixo vertical, que passa pelos pontos (4,5),(-2,11) e (-4,21).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola com eixo vertical que passa pelos pontos (4,5), (-2,11) e (-4,21). Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra sobre parábolas e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo vertical é dada por:
y = a x^2 + b x + c
Aqui, a, b e c são constantes que determinam a forma e a posição da parábola. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas constantes que fazem com que a parábola passe pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos usar cada um dos pontos para criar uma equação. Começando pelo ponto (4,5):
Substituímos x = 4 e y = 5 na equação da parábola:
5 = a (4)^2 + b (4) + c 5 = 16a + 4b + c Rightarrow 16a + 4b + c = 5 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, usamos o ponto (-2,11):
Substituímos x = -2 e y = 11 na equação:
11 = a (-2)^2 + b (-2) + c 11 = 4a - 2b + c Rightarrow 4a - 2b + c = 11 (Equação 2) çã

Passo 5

Por fim, usamos o ponto (-4,21):
Substituímos x = -4 e y = 21 na equação:
21 = a (-4)^2 + b (-4) + c 21 = 16a - 4b + c Rightarrow 16a - 4b + c = 21 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
16a + 4b + c = 5 (Equação 1) 4a - 2b + c = 11 (Equação 2) 16a - 4b + c = 21 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, vamos tentar eliminar c. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
(16a + 4b + c) - (4a - 2b + c) = 5 - 11 12a + 6b = -6 (Equação 4) çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 3:
(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 21 - 11 12a - 2b = 10 (Equação 5) çã
Temos agora um sistema com duas equações:
12a + 6b = -6 (Equação 4) 12a - 2b = 10 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 5 por 3 para facilitar a eliminação de b:
3 times (12a - 2b) = 3 times 10 36a - 6b = 30 (Equação 6) çã
Agora, somamos a Equação 4 e a Equação 6:
(12a + 6b) + (36a - 6b) = -6 + 30 48a = 24 a = 2448 a = 0.5
Agora que temos a = 0.5, vamos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar b:
12(0.5) + 6b = -6 6 + 6b = -6 6b = -12 b = -2
Por fim, vamos substituir a = 0.5 e b = -2 em uma das equações originais para encontrar c. Vamos usar a Equação 1:
16(0.5) + 4(-2) + c = 5 8 - 8 + c = 5 c = 5

Resposta

A equação da parábola é:
y = 0.5,x^2 - 2,x + 5

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