Escrever a equação da elipse de centro na origem, semi-eixo maior com 4 unidades de comprimento situado sobre o eixo y e amplitude focal igual a 92.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre elipses. Precisamos escrever a equação de uma elipse que tem o centro na origem, o semi-eixo maior com 4 unidades de comprimento no eixo e uma amplitude focal igual a . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação geral da elipse e entender alguns conceitos básicos sobre seus eixos e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse. Quando o semi-eixo maior está no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 , a equação fica assim:
Aqui, é o comprimento do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor.

Passo 3

No nosso caso, o semi-eixo maior tem 4 unidades de comprimento. Então, . Como a elipse está centrada na origem e o semi-eixo maior está no eixo , não precisamos fazer nenhuma translação na equação.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir o valor de 2c = 92 implies c = 94 , o semi-eixo menor. Para isso, vamos usar a relação que envolve a amplitude focal. A amplitude focal é a distância total entre os dois focos da elipse e é igual a , onde é a distância do centro até cada foco.
Foi dado que a amplitude focal é , então:

Passo 5

Sabemos que, para uma elipse, a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , ( 94 )^2 = 4^2 - b^2 8116 = 16 - b^2 e é:
Vamos substituir os valores que já temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para b^2 = 16 - 8116 b^2 = 25616 - 8116 b^2 = 17516 :

Passo 7

Com os valores de x^217516 + y^216 = 1 e 16x^2175 + y^216 = 1 conhecidos, podemos escrever a equação da elipse substituindo na fórmula padrão:
Isso pode ser simplificado multiplicando numerador e denominador:

Resposta

A equação da elipse é:
16x^2175 + y^216 = 1

Exercícios relacionados