Escrever a equação da elipse de centro na origem, semi-eixo maior com 4 unidades de comprimento situado sobre o eixo
e amplitude focal igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre elipses. Precisamos escrever a equação de uma elipse que tem o centro na origem, o semi-eixo maior com 4 unidades de comprimento no eixo
e uma amplitude focal igual a
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação geral da elipse e entender alguns conceitos básicos sobre seus eixos e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse. Quando o semi-eixo maior está no eixo
, a equação fica assim:
Aqui,
é o comprimento do semi-eixo maior e
é o comprimento do semi-eixo menor.
Passo 3
No nosso caso, o semi-eixo maior
tem 4 unidades de comprimento. Então,
. Como a elipse está centrada na origem e o semi-eixo maior está no eixo
, não precisamos fazer nenhuma translação na equação.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir o valor de
, o semi-eixo menor. Para isso, vamos usar a relação que envolve a amplitude focal. A amplitude focal é a distância total entre os dois focos da elipse e é igual a
, onde
é a distância do centro até cada foco.
Foi dado que a amplitude focal é
, então:
Passo 5
Sabemos que, para uma elipse, a relação entre
,
e
é:
Vamos substituir os valores que já temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Com os valores de
e
conhecidos, podemos escrever a equação da elipse substituindo na fórmula padrão:
Isso pode ser simplificado multiplicando numerador e denominador:
Resposta
A equação da elipse é: