Determinar a equação do lugar geométrico gerado por um ponto que se desloca de modo que sua distância a
é
de sua distância à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move de tal jeito que a distância dele até o ponto (0, 6) é 3/2 da distância dele até a reta
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre lugares geométricos envolvendo pontos e retas. Precisamos calcular essas duas distâncias e montar uma equação que relacione elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos e a distância de um ponto até uma reta. A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Já a distância de um ponto
até uma reta
é:
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso problema. Primeiro, a distância entre
e
:
Passo 4
Agora, a distância de
até a reta
. Essa reta pode ser escrita como
, então
,
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Segundo o enunciado, a distância até o ponto
é
vezes a distância até a reta. Então:
Passo 6
Vamos eliminar o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Passo 7
Expandindo os termos:
Passo 8
Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 9
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 10
Finalmente, isolamos os termos para obter a equação padrão:
Resposta
A equação do lugar geométrico é: