Determinar a equação do lugar geométrico gerado por um ponto que se desloca de modo que sua distância a (0,6) é 32 de sua distância à reta y-83=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move de tal jeito que a distância dele até o ponto (0, 6) é 3/2 da distância dele até a reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre lugares geométricos envolvendo pontos e retas. Precisamos calcular essas duas distâncias e montar uma equação que relacione elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos e a distância de um ponto até uma reta. A distância entre dois pontos d(P, A) = raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 e d(P, reta) = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 é dada pela fórmula:
Já a distância de um ponto até uma reta é:

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso problema. Primeiro, a distância entre d(P, A) = raiz(x - 0)^2 + (y - 6)^2 = raizx^2 + (y - 6)^2 e :

Passo 4

Agora, a distância de d(P, reta) = |0 cdot x + 1 cdot y - 83|raiz0^2 + 1^2 = |y - 83|1 = |y - 83| até a reta . Essa reta pode ser escrita como , então , e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Segundo o enunciado, a distância até o ponto raizx^2 + (y - 6)^2 = 32 |y - 83| é vezes a distância até a reta. Então:

Passo 6

Vamos eliminar o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
x^2 + (y - 6)^2 = ( 32 )^2 (y - 83)^2
x^2 + (y - 6)^2 = 94 (y - 83)^2

Passo 7

Expandindo os termos:
x^2 + y^2 - 12y + 36 = 94 ( y^2 - 163y + 649 )
x^2 + y^2 - 12y + 36 = 94y^2 - 12y + 16

Passo 8

Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 = 9y^2 - 48y + 64

Passo 9

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 - 9y^2 + 48y - 64 = 0
4x^2 - 5y^2 + 80 = 0

Passo 10

Finalmente, isolamos os termos para obter a equação padrão:
4x^2 - 5y^2 = -80
4x^280 - 5y^280 = -1
x^220 - y^216 = -1

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
x^220 - y^216 = -1

Exercícios relacionados