Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C(-4,2,3) e tangente ao plano pi: x-y-2 z+7=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa achar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto C(-4, 2, 3) e que é tangente a um plano dado pela equação pi: x - y - 2z + 7 = 0. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da esfera e também calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. A equação é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Onde (h, k, l) são as coordenadas do centro da esfera e r é o raio dela. No nosso caso, o centro C é (-4, 2, 3), então h = -4, k = 2 e l = 3.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor do raio r. Como a esfera é tangente ao plano pi, a distância entre o centro da esfera e o plano será exatamente igual ao raio da esfera. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância entre um ponto (x0, y0, z0) e um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, os coeficientes do plano pi são A = 1, B = -1, C = -2 e D = 7.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula da distância. O ponto C tem coordenadas (-4, 2, 3), então:
d = |1 cdot (-4) + (-1) cdot 2 + (-2) cdot 3 + 7|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |-4 - 2 - 6 + 7|raiz1 + 1 + 4 = |-5|raiz6 = 5raiz6
Então, o raio r da esfera é 5raiz6.

Passo 5

Agora que temos o centro e o raio, podemos montar a equação da esfera substituindo os valores na fórmula geral:
(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (5raiz6)^2
Simplificando:
(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 256

Resposta

A equação da esfera é:
(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 256

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