Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro
e tangente ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa achar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto
e que é tangente a um plano dado pela equação
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da esfera e também calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. A equação é dada por:
Onde
são as coordenadas do centro da esfera e
é o raio dela. No nosso caso, o centro
é
, então
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir o valor do raio
. Como a esfera é tangente ao plano
, a distância entre o centro da esfera e o plano será exatamente igual ao raio da esfera. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância entre um ponto
e um plano
:
Aqui, os coeficientes do plano
são
,
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula da distância. O ponto
tem coordenadas
, então:
Então, o raio
da esfera é
.
Passo 5
Agora que temos o centro e o raio, podemos montar a equação da esfera substituindo os valores na fórmula geral:
Simplificando:
Resposta
A equação da esfera é: