Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro e tangente ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa achar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto e que é tangente a um plano dado pela equação . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da esfera e também calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. A equação é dada por:
Onde são as coordenadas do centro da esfera e é o raio dela. No nosso caso, o centro é , então , e .

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor do raio . Como a esfera é tangente ao plano , a distância entre o centro da esfera e o plano será exatamente igual ao raio da esfera. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância entre um ponto e um plano :
Aqui, os coeficientes do plano são , , e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula da distância. O ponto tem coordenadas , então:
Então, o raio da esfera é .

Passo 5

Agora que temos o centro e o raio, podemos montar a equação da esfera substituindo os valores na fórmula geral:
Simplificando:

Resposta

A equação da esfera é:

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