Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto , que é composto por funções no espaço (ou seja, funções contínuas no intervalo de a ), é linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente nesse contexto e como provar isso para funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) ser linearmente independente. Dizemos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
então devemos mostrar que isso implica que .
Passo 3
Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Queremos provar que os coeficientes , e devem ser todos iguais a zero.
Passo 4
Para resolver isso, podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação. Vamos escolher , e para criar um sistema de equações que nos permita resolver para , e .
Passo 5
Vamos substituir na equação:
Passo 6
Agora, substituímos na equação:
Passo 7
Por fim, substituímos na equação:
Passo 8
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 9
Da segunda equação, temos . Substituindo por na primeira equação:
Passo 10
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 11
Com , então e . Portanto, .
Resposta
Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente em .