Mostre que o conjunto 1, cos x, cos 2 x de vetores de C([-pi, pi]) é L.I. .

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto 1, cos x, cos 2x, que é composto por funções no espaço C([-pi, pi]) (ou seja, funções contínuas no intervalo de -pi a pi), é linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente nesse contexto e como provar isso para funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) ser linearmente independente. Dizemos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
a cdot 1 + b cdot cos x + c cdot cos 2x = 0 para todo x in [-pi, pi],
então devemos mostrar que isso implica que a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
a cdot 1 + b cdot cos x + c cdot cos 2x = 0
Queremos provar que os coeficientes a, b e c devem ser todos iguais a zero.

Passo 4

Para resolver isso, podemos escolher valores específicos de x que simplifiquem a equação. Vamos escolher x = 0, x = pi/2 e x = pi para criar um sistema de equações que nos permita resolver para a, b e c.

Passo 5

Vamos substituir x = 0 na equação:
a cdot 1 + b cdot cos 0 + c cdot cos 0 = 0 Rightarrow a + b + c = 0

Passo 6

Agora, substituímos x = pi/2 na equação:
a cdot 1 + b cdot cos (pi2) + c cdot cos pi = 0 Rightarrow a + 0 + c cdot (-1) = 0 Rightarrow a - c = 0

Passo 7

Por fim, substituímos x = pi na equação:
a cdot 1 + b cdot cos pi + c cdot cos 2pi = 0 Rightarrow a + b cdot (-1) + c cdot 1 = 0 Rightarrow a - b + c = 0

Passo 8

Agora temos o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 0 a - c = 0 a - b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 9

Da segunda equação, temos a = c. Substituindo c por a na primeira equação:
a + b + a = 0 Rightarrow 2a + b = 0 Rightarrow b = -2a

Passo 10

Agora, substituindo a e c na terceira equação:
a - (-2a) + a = 0 Rightarrow a + 2a + a = 0 Rightarrow 4a = 0 Rightarrow a = 0

Passo 11

Com a = 0, então c = a = 0 e b = -2a = 0. Portanto, a = b = c = 0.

Resposta

Como a única solução é a = b = c = 0, o conjunto 1, cos x, cos 2x é linearmente independente em C([-pi, pi]).

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