Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto , que é composto por funções no espaço (ou seja, funções contínuas no intervalo de a ), é linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente nesse contexto e como provar isso para funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) ser linearmente independente. Dizemos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
então devemos mostrar que isso implica que .
Passo 3
Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Queremos provar que os coeficientes , e devem ser todos iguais a zero.
Passo 4
Para resolver isso, podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação. Vamos escolher , e para criar um sistema de equações que nos permita resolver para , e .
Passo 5
Vamos substituir na equação:
Passo 6
Agora, substituímos na equação:
Passo 7
Por fim, substituímos na equação:
Passo 8
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.
Passo 9
Da segunda equação, temos a = c. Substituindo c por a na primeira equação:
a + b + a = 0 Rightarrow 2a + b = 0 Rightarrow b = -2a
Passo 10
Agora, substituindo a e c na terceira equação:
a - (-2a) + a = 0 Rightarrow a + 2a + a = 0 Rightarrow 4a = 0 Rightarrow a = 0
Passo 11
Com a = 0, então c = a = 0 e b = -2a = 0. Portanto, a = b = c = 0.
Resposta
Como a única solução é a = b = c = 0, o conjunto 1, cos x, cos 2x é linearmente independente em C([-pi, pi]).