Mostre que o conjunto de vetores de é L.I. .

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o conjunto , que é composto por funções no espaço (ou seja, funções contínuas no intervalo de a ), é linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente nesse contexto e como provar isso para funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) ser linearmente independente. Dizemos que um conjunto de funções é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
então devemos mostrar que isso implica que .

Passo 3

Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Queremos provar que os coeficientes , e devem ser todos iguais a zero.

Passo 4

Para resolver isso, podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação. Vamos escolher , e para criar um sistema de equações que nos permita resolver para , e .

Passo 5

Vamos substituir na equação:

Passo 6

Agora, substituímos na equação:

Passo 7

Por fim, substituímos na equação:

Passo 8

Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 9

Da segunda equação, temos . Substituindo por na primeira equação:

Passo 10

Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 11

Com , então e . Portanto, .

Resposta

Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente em .

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