Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
©
definida por
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função
definida por
é uma transformação linear. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
cumpre essas duas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Vamos pegar duas matrizes quaisquer
e
.
Primeiro, somamos essas matrizes:
Aplicando
nessa soma:
Agora, aplicamos
separadamente em
e
:
Somando
e
:
Vemos que
, então a primeira propriedade é satisfeita.
Segunda propriedade (Multiplicação por escalar):
Vamos multiplicar uma matriz
por um escalar
:
Aplicando
nessa matriz escalada:
Então,
, o que confirma a segunda propriedade.
Resposta
Sim, a função
definida por
é uma transformação linear.