Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função definida por
é uma transformação linear. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Vamos pegar duas matrizes quaisquer e .
Primeiro, somamos essas matrizes:
Aplicando nessa soma:
Agora, aplicamos separadamente em e :
Somando e :
Vemos que , então a primeira propriedade é satisfeita.
Segunda propriedade (Multiplicação por escalar):
Vamos multiplicar uma matriz por um escalar :
Aplicando nessa matriz escalada:
Então, , o que confirma a segunda propriedade.

Resposta

Sim, a função definida por é uma transformação linear.

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