Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: M(2,2) R^2 definida por T([llx & y z & w])=(x+w, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função T( x & y z & w ) = (x + w, y + z) definida por
é uma transformação linear. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função x1 & y1 z1 & w1 cumpre essas duas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Vamos pegar duas matrizes quaisquer x2 & y2 z2 & w2 e A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2 .
Primeiro, somamos essas matrizes:
T(A + B) = ((x1 + x2) + (w1 + w2), (y1 + y2) + (z1 + z2)) = (x1 + w1 + x2 + w2, y1 + z1 + y2 + z2)
Aplicando T(A) = (x1 + w1, y1 + z1) nessa soma:
T(B) = (x2 + w2, y2 + z2)
Agora, aplicamos T(A) + T(B) = (x1 + w1 + x2 + w2, y1 + z1 + y2 + z2) separadamente em x & y z & w e cA = cx & cy cz & cw :
T(cA) = (cx + cw, cy + cz) = c(x + w, y + z) = cT(A)
Somando e :
Vemos que , então a primeira propriedade é satisfeita.
Segunda propriedade (Multiplicação por escalar):
Vamos multiplicar uma matriz por um escalar :
Aplicando nessa matriz escalada:
Então, , o que confirma a segunda propriedade.

Resposta

Sim, a função x & y z & w definida por é uma transformação linear.

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