Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é
um dos vértices é
e a equação de uma das assíntotas é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a equação de uma hipérbole. A gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com as características da hipérbole, como seu centro, vértices e assíntotas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas gerais da hipérbole e entender como aplicar as informações fornecidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da hipérbole. Sabemos que o centro está no ponto
e um dos vértices está em
. Isso indica que a hipérbole está alinhada no eixo x, ou seja, sua forma padrão é:
Aqui,
representa a distância do centro aos vértices.
Passo 3
Como um dos vértices está em
, significa que
. Substituindo esse valor na equação padrão, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação da assíntota para encontrar
. Sabemos que uma das assíntotas é dada por
, que podemos reescrever como
.
Passo 5
Para uma hipérbole com a forma que estamos trabalhando, as assíntotas são dadas por
. Comparando isso com
, podemos identificar que:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é
.
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não é uma base para
. Determinar uma base do subespaço gerado por
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,
e
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é um subespaço vetorial do
.
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(a)
(a)