Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é um dos vértices é e a equação de uma das assíntotas é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a equação de uma hipérbole. A gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com as características da hipérbole, como seu centro, vértices e assíntotas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas gerais da hipérbole e entender como aplicar as informações fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da hipérbole. Sabemos que o centro está no ponto e um dos vértices está em . Isso indica que a hipérbole está alinhada no eixo x, ou seja, sua forma padrão é:
Aqui, representa a distância do centro aos vértices.

Passo 3

Como um dos vértices está em , significa que . Substituindo esse valor na equação padrão, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a informação da assíntota para encontrar . Sabemos que uma das assíntotas é dada por , que podemos reescrever como .

Passo 5

Para uma hipérbole com a forma que estamos trabalhando, as assíntotas são dadas por . Comparando isso com , podemos identificar que:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora que temos e , podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é .

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