Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre curvas cônicas definidas por equações paramétricas no plano. A gente precisa transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e algebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que a gente tem:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
.
Passo 3
O próximo passo é eliminar o parâmetro
para conseguir uma relação direta entre
e
. Sabemos que:
Vamos isolar
e
das equações paramétricas.
Passo 4
A partir da equação de
:
E da equação de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Passo 6
Podemos ver que essa equação é da forma padrão de uma circunferência:
Comparando, vemos que
,
e
.
Resposta
A equação cartesiana reduzida é
, que representa um círculo com centro em
e raio 5.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial do
.
Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é
um dos vértices é
e a equação de uma das assíntotas é
.
Determinar k para que o vetor
pertença ao subespaço encontrado no item a).
Seja o espaço vetorial
. Pede-se:
a) Determinar seu subespaço gerado pelos vetores:
a)
b)
Determinar k para que o vetor
pertença ao subespaço encontrado no item a).