Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(a) lx(theta)=-3+5 cos (theta) y(theta)=2+5 sen(theta), 0 <= theta<2 pi

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre curvas cônicas definidas por equações paramétricas no plano. A gente precisa transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e algebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que a gente tem:
x(theta) = -3 + 5 cos(theta)
y(theta) = 2 + 5 sin(theta)
Aqui, é o parâmetro que varia de a .

Passo 3

O próximo passo é eliminar o parâmetro cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 para conseguir uma relação direta entre e . Sabemos que:
Vamos isolar e das equações paramétricas.

Passo 4

A partir da equação de x = -3 + 5 cos(theta) implies cos(theta) = x + 35 :
y = 2 + 5 sin(theta) implies sin(theta) = y - 25
E da equação de :

Passo 5

Agora, substituímos ( x + 35 )^2 + ( y - 25 )^2 = 1 e (x + 3)^225 + (y - 2)^225 = 1 na identidade trigonométrica:
Simplificando:

Passo 6

Podemos ver que essa equação é da forma padrão de uma circunferência:
(x - h)^2r^2 + (y - k)^2r^2 = 1
Comparando, vemos que , e .

Resposta

A equação cartesiana reduzida é , que representa um círculo com centro em e raio 5.

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