Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(a)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre curvas cônicas definidas por equações paramétricas no plano. A gente precisa transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e algebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que a gente tem:
Aqui, é o parâmetro que varia de a .

Passo 3

O próximo passo é eliminar o parâmetro para conseguir uma relação direta entre e . Sabemos que:
Vamos isolar e das equações paramétricas.

Passo 4

A partir da equação de :
E da equação de :

Passo 5

Agora, substituímos e na identidade trigonométrica:
Simplificando:

Passo 6

Podemos ver que essa equação é da forma padrão de uma circunferência:
Comparando, vemos que , e .

Resposta

A equação cartesiana reduzida é , que representa um círculo com centro em e raio 5.

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