Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de subespaços vetoriais.
O que precisamos: Saber as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial. Vamos revisar essas condições antes de começar a resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições fundamentais para um conjunto ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor zero
deve pertencer ao conjunto. - Fechado para adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar no conjunto. - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um escalar, então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
Vamos substituir
,
e
na equação dada:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a
. Tá bom até aqui!
Passo 4
2. Verificando a fechadura para adição:
Para esta parte, vamos supor que temos dois vetores quaisquer
e
que pertencem a
. Isso significa que:
Queremos saber se a soma desses vetores
também pertence a
. Vamos verificar:
Expandindo
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Para que
pertença a
, precisamos que
. Isso só é verdade se pelo menos um dos
for zero, o que não acontece necessariamente para todos os vetores em
.
Passo 5
3. Verificando a fechadura para multiplicação por escalar:
Agora, vamos verificar se multiplicar um vetor
de
por um escalar
resulta em um vetor que também pertence a
.
A equação para
fica:
Expandindo:
Sabemos que
, então substituindo:
Para que
pertença a
, essa expressão precisa ser igual a zero. No entanto, isso só ocorre se
ou se
, o que não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores em
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não satisfaz as condições de fechadura para adição e para multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é
um dos vértices é
e a equação de uma das assíntotas é
.
Mostrar que o conjunto
não é uma base para
. Determinar uma base do subespaço gerado por
e sua dimensão.
Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(a)
(a)
Determinar k para que o vetor
pertença ao subespaço encontrado no item a).