Verifique se o conjunto S=(x, y, z) in R^3 / x^2-y+z=0 é um subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente conceitos de subespaços vetoriais.
O que precisamos: Saber as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial. Vamos revisar essas condições antes de começar a resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições fundamentais para um conjunto ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechado para adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 0^2 - 0 + 0 = 0 - 0 + 0 = 0 :
Vamos substituir , e na equação dada:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a . Tá bom até aqui!

Passo 4

2. Verificando a fechadura para adição:
Para esta parte, vamos supor que temos dois vetores quaisquer x1^2 - y1 + z1 = 0 e x2^2 - y2 + z2 = 0 e (x1 + x2)^2 - (y1 + y2) + (z1 + z2) que pertencem a x1^2 + 2x1x2 + x2^2 - y1 - y2 + z1 + z2 . Isso significa que:
0 + 2x1x2 + 0 = 2x1x2
Queremos saber se a soma desses vetores também pertence a . Vamos verificar:
Expandindo :
Sabemos que e , então substituindo:
Para que pertença a , precisamos que . Isso só é verdade se pelo menos um dos for zero, o que não acontece necessariamente para todos os vetores em .

Passo 5

3. Verificando a fechadura para multiplicação por escalar:
Agora, vamos verificar se multiplicar um vetor (xc)^2 - (yc) + (zc) de c^2x^2 - yc + zc por um escalar c^2(x^2) - yc + zc = c^2(y - z) - yc + zc = y(c^2 - c) + z(c - c^2) resulta em um vetor que também pertence a .
A equação para fica:
Expandindo:
Sabemos que , então substituindo:
Para que pertença a , essa expressão precisa ser igual a zero. No entanto, isso só ocorre se ou se , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores em .

Resposta

Concluímos que o conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não satisfaz as condições de fechadura para adição e para multiplicação por escalar.

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