Mostrar que o conjunto não é uma base para . Determinar uma base do subespaço gerado por e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto não é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Além disso, precisamos encontrar uma base para o subespaço gerado por e determinar a sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade, independência linear e bases em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se ele é linearmente independente e gera todo o espaço. No nosso caso, queremos ver se satisfaz essas condições para .
Passo 3
Vamos representar cada polinômio de como um vetor em , onde cada componente corresponde ao coeficiente de , e :
Passo 4
Agora, para verificar se a(1 + x) + b(x - x^2) + c(1 + 2x - x^2) = 0 é linearmente independente, vamos montar uma combinação linear que iguala o zero e ver se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero):
a + c = 0 a + b + 2c = 0 - b - c = 0
Isso se traduz no sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: - c - c + 2c = 0 Rightarrow 0 = 0
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Isso mostra que existe uma infinidade de soluções não triviais (por exemplo, , então e ).
Passo 6
Como encontramos soluções não triviais para a combinação linear que iguala zero, isso quer dizer que os vetores em não são linearmente independentes. Portanto, não é uma base para .
Passo 7
Agora, vamos determinar uma base para o subespaço gerado por 1 1 0 , 0 1 -1 , 1 2 -1 . Como 1 1 0 + 0 1 -1 = 1 2 -1 não é linearmente independente, podemos remover um dos vetores que é combinação dos outros. Observando os vetores:
1 + x, x - x^2
Podemos ver que o terceiro vetor é a soma do primeiro e do segundo:
Então, podemos retirar o terceiro vetor e ficar com:
Passo 8
Vamos verificar se os vetores restantes são linearmente independentes. Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
a(1 + x) + b(x - x^2) = 0
Que resulta no sistema:
a = 0 a + b = 0 - b = 0
Da última equação, . Substituindo em , temos . Portanto, a única solução é trivial, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 9
Como os vetores são linearmente independentes e geram o subespaço formado por , eles formam uma base para esse subespaço.
Passo 10
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos uma base com 2 vetores, a dimensão do subespaço gerado por é 2.
Resposta
O conjunto não é uma base para porque seus vetores são linearmente dependentes. Uma base para o subespaço gerado por é , e a dimensão desse subespaço é 2.