Mostrar que o conjunto não é uma base para . Determinar uma base do subespaço gerado por e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto não é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Além disso, precisamos encontrar uma base para o subespaço gerado por e determinar a sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade, independência linear e bases em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se ele é linearmente independente e gera todo o espaço. No nosso caso, queremos ver se satisfaz essas condições para .

Passo 3

Vamos representar cada polinômio de como um vetor em , onde cada componente corresponde ao coeficiente de , e :

Passo 4

Agora, para verificar se é linearmente independente, vamos montar uma combinação linear que iguala o zero e ver se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero):
Isso se traduz no sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:
Isso mostra que existe uma infinidade de soluções não triviais (por exemplo, , então e ).

Passo 6

Como encontramos soluções não triviais para a combinação linear que iguala zero, isso quer dizer que os vetores em não são linearmente independentes. Portanto, não é uma base para .

Passo 7

Agora, vamos determinar uma base para o subespaço gerado por . Como não é linearmente independente, podemos remover um dos vetores que é combinação dos outros. Observando os vetores:
Podemos ver que o terceiro vetor é a soma do primeiro e do segundo:
Então, podemos retirar o terceiro vetor e ficar com:

Passo 8

Vamos verificar se os vetores restantes são linearmente independentes. Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
Que resulta no sistema:
Da última equação, . Substituindo em , temos . Portanto, a única solução é trivial, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 9

Como os vetores são linearmente independentes e geram o subespaço formado por , eles formam uma base para esse subespaço.

Passo 10

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos uma base com 2 vetores, a dimensão do subespaço gerado por é 2.

Resposta

O conjunto não é uma base para porque seus vetores são linearmente dependentes. Uma base para o subespaço gerado por é , e a dimensão desse subespaço é 2.

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Determine o valor de k para que o conjunto formado pelos vetores , e seja ld. (OBS: USAR ESCALONAMENTO).
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Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é um dos vértices é e a equação de uma das assíntotas é .
Verifique se o conjunto é um subespaço vetorial do .