Determine o valor de k para que o conjunto formado pelos vetores , e seja ld. (OBS: USAR ESCALONAMENTO).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre Dependência e Independência Linear de vetores. Para resolver, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente envolve manipular uma matriz formada por esses vetores para descobrir uma relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
Nosso objetivo é escalonar essa matriz para facilitar a análise da dependência linear.
Passo 3
Vamos começar escalonando a matriz. Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô. Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
A primeira linha já está começando com 1, então não precisamos multiplicar. Agora, vamos zerar o elemento na segunda linha, primeira coluna (que já é 0) e na terceira linha, primeira coluna (que é 3).
Para zerar o 3 da terceira linha, podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha:
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos usar o elemento R2 = R2-4 da segunda linha como pivô para zerar o elemento abaixo dele na terceira linha.
Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo todos os elementos por 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 0 & -6 & k - 9 :
Agora, vamos zerar o da terceira linha usando a segunda linha:
Calculando:
[
]
Passo 5
Agora, a matriz está escalonada. Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o sistema deve ter uma solução não trivial, ou seja, o determinante da matriz deve ser zero. Observando a forma escalonada, isso acontece quando k - 6 = 0 implies k = 6 .
Então, igualando:
Resposta
O valor de que torna os vetores , e linearmente dependentes é .