Determine o valor de k para que o conjunto formado pelos vetores v1=(1,0,3), v2=(2,-4,0) e v3=(3,-2, k) seja ld. (OBS: USAR ESCALONAMENTO).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre Dependência e Independência Linear de vetores. Para resolver, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente envolve manipular uma matriz formada por esses vetores para descobrir uma relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
1 & 2 & 3 0 & -4 & -2 3 & 0 & k
Nosso objetivo é escalonar essa matriz para facilitar a análise da dependência linear.

Passo 3

Vamos começar escalonando a matriz. Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô. Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
A primeira linha já está começando com 1, então não precisamos multiplicar. Agora, vamos zerar o elemento na segunda linha, primeira coluna (que já é 0) e na terceira linha, primeira coluna (que é 3).
Para zerar o 3 da terceira linha, podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha:
R3 = R3 - 3 times R1
Calculando:

[
1 & 2 & 3 0 & -4 & -2 3 - 3(1) & 0 - 3(2) & k - 3(3) = 1 & 2 & 3 0 & -4 & -2 0 & -6 & k - 9


]

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos usar o elemento R2 = R2-4 da segunda linha como pivô para zerar o elemento abaixo dele na terceira linha.
Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo todos os elementos por 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 0 & -6 & k - 9 :
R3 = R3 + 6 times R2
Assim:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 0 & -6 + 6(1) & (k - 9) + 6(0.5) = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 0 & 0 & k - 9 + 3 = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 0 & 0 & k - 6
Agora, vamos zerar o da terceira linha usando a segunda linha:
Calculando:

[


]

Passo 5

Agora, a matriz está escalonada. Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o sistema deve ter uma solução não trivial, ou seja, o determinante da matriz deve ser zero. Observando a forma escalonada, isso acontece quando k - 6 = 0 implies k = 6 .
Então, igualando:

Resposta

O valor de que torna os vetores , e linearmente dependentes é .

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A=[cc0 & 10 -1 & 5]
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