Achar a equação da parábola de eixo paralelo a O x e que passa pelos pontos (3,3),(6,5) e (6,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo (y - k)^2 = 4p (x - h) (horizontal) e que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a fórmula geral da parábola com eixo horizontal, que é:
Aqui, é o vértice da parábola e determina a distância do vértice ao foco.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os pontos dados na equação da parábola para criar um sistema de equações. Vamos usar as coordenadas dos pontos (3 - k)^2 = 4p (3 - h) , (5 - k)^2 = 4p (6 - h) e (-3 - k)^2 = 4p (6 - h) .
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 3

Observamos que os dois últimos pontos têm o mesmo valor de (5 - k)^2 = (-3 - k)^2 (6), então podemos igualar as duas equações:
25 - 10k + k^2 = 9 + 6k + k^2
Vamos resolver essa equação para encontrar 25 - 10k = 9 + 6k :
Expandindo ambos os lados:
16 = 16k
Simplificando:
k = 1

Passo 4

Com (3 - 1)^2 = 4p (3 - h) , vamos substituir de volta nas equações para encontrar 4 = 4p (3 - h) e 1 = p (3 - h) . Vamos usar a equação do ponto p (3 - h) = 1 (Equação 1) :
(5 - 1)^2 = 4p (6 - h)
16 = 4p (6 - h)
Dividindo ambos os lados por 4:
4 = p (6 - h) (Equação 2)
Ou seja,
çã
Agora, usando a equação do ponto :
Dividindo ambos os lados por 4:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
p (3 - h) = 1 (Equação 1) p (6 - h) = 4 (Equação 2) çãçã
Vamos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar p (6 - h)p (3 - h) = 41 :
6 - h3 - h = 4
Simplificando:
6 - h = 4(3 - h)
Resolvendo para 6 - h = 12 - 4h :
3h = 6
h = 2

Passo 6

Com p (3 - 2) = 1 , vamos substituir na Equação 1 para encontrar p = 1 :

Resposta

A equação da parábola é:
(y - 1)^2 = 4 (x - 2)

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