Determinar:
- os vértices
- os focos
- a excentricidade
- a amplitude focal
- as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das propriedades de uma hipérbole. A gente precisa encontrar os vértices, os focos, a excentricidade, a amplitude focal e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 144:
Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
a partir da forma padrão da hipérbole:
Passo 4
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo transversal. Como a hipérbole está centrada na origem (0,0) e abre pelo eixo x, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando:
Então, os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo transversal:
Passo 6
A excentricidade (
) da hipérbole é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
A amplitude focal geralmente se refere à distância entre os dois focos. Já que cada foco está a uma distância
do centro, a amplitude focal é:
Passo 8
As equações das assíntotas da hipérbole na forma padrão são dadas por:
Substituindo
e
:
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Amplitude Focal:
- Equações das Assíntotas:
e