Determinar:
  • os vértices
  • os focos
  • a excentricidade
  • a amplitude focal
  • as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles;
  1. 9 x^2-16 y^2=144

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das propriedades de uma hipérbole. A gente precisa encontrar os vértices, os focos, a excentricidade, a amplitude focal e as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 144:
9x^2144 - 16y^2144 = 144144
Simplificando:
x^216 - y^29 = 1

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 16 Rightarrow a = 4 e b^2 = 9 Rightarrow b = 3 a partir da forma padrão da hipérbole:

Passo 4

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância V1 = (a, 0) = (4, 0) do centro ao longo do eixo transversal. Como a hipérbole está centrada na origem (0,0) e abre pelo eixo x, os vértices são:
V2 = (-a, 0) = (-4, 0)

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Calculando:
c^2 = 16 + 9 = 25 Rightarrow c = 5
Então, os focos estão a uma distância F1 = (c, 0) = (5, 0) do centro ao longo do eixo transversal:
F2 = (-c, 0) = (-5, 0)

Passo 6

A excentricidade ( e = ca ) da hipérbole é dada por:
e = 54 = 1,25
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

A amplitude focal geralmente se refere à distância entre os dois focos. Já que cada foco está a uma distância Amplitude Focal = 2c = 2 times 5 = 10 do centro, a amplitude focal é:

Passo 8

As equações das assíntotas da hipérbole na forma padrão são dadas por:
y = pm bax
Substituindo y = pm 34x e :

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Amplitude Focal:
  • Equações das Assíntotas: e

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