Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
  1. 225 x^2+289 y^2=65025

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da elipse: . Nosso objetivo é descobrir:
  • O comprimento do semi-eixo maior;
  • O comprimento do semi-eixo menor;
  • As coordenadas dos focos;
  • A excentricidade.
Para isso, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse e usar algumas fórmulas básicas sobre elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse, que é 225 x^265025 + 289 y^265025 = 1 . Para isso, dividimos toda a equação por 65025:
x^2289 + y^2225 = 1
Simplificando as frações:
Agora temos a equação na forma padrão!

Passo 3

Na forma padrão a^2 = 289 Rightarrow a = raiz289 = 17 , b^2 = 225 Rightarrow b = raiz225 = 15 é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Vamos identificar esses valores:
Então, o semi-eixo maior mede 17 unidades e o semi-eixo menor mede 15 unidades.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos. Para isso, usamos a fórmula c^2 = 289 - 225 = 64 Rightarrow c = raiz64 = 8 , onde (pm c, 0) Rightarrow (pm 8, 0) é a distância do centro aos focos.
Calculando :
Como o maior semi-eixo está no eixo (porque ), os focos ficam ao longo do eixo . As coordenadas dos focos são:
Ou seja, os focos estão em e .

Passo 5

Por fim, vamos calcular a excentricidade ( e = ca ) da elipse. A excentricidade é dada pela fórmula:
e = 817 approx 0,47
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

  • Semi-eixo maior: 17 unidades
  • Semi-eixo menor: 15 unidades
  • Coordenadas dos focos: e
  • Excentricidade: aproximadamente 0,47

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