Achar a equação da tangente e da normal a curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da tangente e da normal à curva no ponto . O conteúdo que vamos usar aqui é de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, achar a inclinação da tangente no ponto dado e, com isso, montar as equações da tangente e da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .
A regra para derivar é trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da tangente, podemos escrever a equação da reta da tangente usando a fórmula da equação da reta:
Onde e .
Substituindo os valores:
Então, a equação da tangente é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da normal. A normal é a reta que é perpendicular à tangente no ponto dado. Para encontrar a inclinação da normal, usamos o fato de que duas retas perpendiculares têm inclinações que são negativas recíprocas.
Já que a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será:

Passo 6

Com a inclinação da normal, usamos novamente a fórmula da equação da reta:
Substituindo e :
Então, a equação da normal é .

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto é e a equação da normal é .

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Seja f a função definida como:
Ache os valores de em termos de de modo que exista.