Achar a equação da tangente e da normal a curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da tangente e da normal à curva
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, achar a inclinação da tangente no ponto dado e, com isso, montar as equações da tangente e da normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
A regra para derivar
é trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da tangente, podemos escrever a equação da reta da tangente usando a fórmula da equação da reta:
Onde
e
.
Substituindo os valores:
Então, a equação da tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da normal. A normal é a reta que é perpendicular à tangente no ponto dado. Para encontrar a inclinação da normal, usamos o fato de que duas retas perpendiculares têm inclinações que são negativas recíprocas.
Já que a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal será:
Passo 6
Com a inclinação da normal, usamos novamente a fórmula da equação da reta:
Substituindo
e
:
Então, a equação da normal é
.
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto
é
e a equação da normal é
.
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Seja f a função definida como:
Ache os valores de
em termos de
de modo que
exista.