Seja f a função definida como:
f(x) = { sen(x) se x <= c, a x + b se x > c }
Ache os valores de a, b em termos de c de modo que f'(c) exista.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que muda a sua expressão dependendo de ser menor ou maior que um certo ponto . Especificamente:
O que a gente precisa encontrar são os valores de e em termos de para que a derivada de em , , exista. Basicamente, temos que garantir que a função seja suave naquele ponto, sem “quebras” na curva.

Passo 2

Primeiro, para que exista, a função precisa ser contínua em . Isso significa que o limite quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Então, vamos garantir a continuidade:

Passo 3

Calculando o limite pela direita:
Essa é a primeira equação que vamos usar para encontrar e .

Passo 4

Agora, para garantir que a derivada exista, as derivadas laterais também devem ser iguais em .
A derivada de é .
A derivada de é .
Então, igualamos as derivadas nas duas direções:

Passo 5

Agora que já encontramos , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :
Resolvendo para :

Resposta

Os valores são:

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