Seja f a função definida como:
Ache os valores de
em termos de
de modo que
exista.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que muda a sua expressão dependendo de
ser menor ou maior que um certo ponto
. Especificamente:
O que a gente precisa encontrar são os valores de
e
em termos de
para que a derivada de
em
,
, exista. Basicamente, temos que garantir que a função seja suave naquele ponto, sem “quebras” na curva.
Passo 2
Primeiro, para que
exista, a função
precisa ser contínua em
. Isso significa que o limite quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Então, vamos garantir a continuidade:
Passo 3
Calculando o limite pela direita:
Essa é a primeira equação que vamos usar para encontrar
e
.
Passo 4
Agora, para garantir que a derivada exista, as derivadas laterais também devem ser iguais em
.
A derivada de
é
.
A derivada de
é
.
Então, igualamos as derivadas nas duas direções:
Passo 5
Agora que já encontramos
, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores são: