Verificar se é dimensionalmente homogênea a seguinte equação:
A=4pi raiz[3]BC D^4
onde A é a força, B é a potência, C é a velocidade angular e D é a massa específica superficial (kg / m^2)
Resposta: Não

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a equação
A=4pi raiz[3]BC D^4
é dimensionalmente homogênea. Isso quer dizer que as unidades de cada lado da equação precisam bater, ou seja, ter as mesmas dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de dimensões físicas, tipo força, potência, velocidade angular e massa específica superficial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas:
  • A é a força. A unidade de força no Sistema Internacional é o Newton (N), que tem dimensão .
  • B é a potência. A unidade de potência é o Watt (W), que tem dimensão .
  • C é a velocidade angular. A unidade de velocidade angular é o radiano por segundo ( ), mas o radiano é adimensional, então a dimensão é .
  • D é a massa específica superficial, com unidade , então a dimensão é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz cúbica:
BC D^4
Substituindo pelas dimensões:
[M L^2 T^-3][T^-1] [M L^-2]^4 = [M L^2 T^-3][T^-1] [M^4 L^-8] = [M L^2 T^-3][M^4 L^-8 T^-1]
Simplificando:
[M L^2 T^-3] times [M^-4 L^8 T^1] = [M^-3 L^10 T^-2]

Passo 4

Agora, aplicamos a raiz cúbica nessa expressão:
raiz[3][M^-3 L^10 T^-2] = [M^-1 L^103 T^-23]
Multiplicando por 4pi [M^-1 L^103 T^-23] = [M^-1 L^103 T^-23] , que é um fator adimensional, as dimensões não mudam:

Passo 5

Agora, vamos comparar as dimensões de e da expressão obtida:
  • Dimensão de A:
  • Dimensão da expressão:
Claramente, as dimensões não são as mesmas. Portanto, a equação não é dimensionalmente homogênea.

Resposta

Não

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