Deduzir a equação da hipérbole de vértices em (-6,0) e (6,0) e assintotas 6 y=7 x e 6 y=-7 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem vértices em (-6,0) e (6,0), e cujas assíntotas são 6y = 7x e 6y = -7x. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles, como a identificação do centro, dos vértices, e das assíntotas, além de montar a equação padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices estão em (-6,0) e (6,0). O centro da hipérbole é o ponto médio entre os vértices. Para encontrar o ponto médio entre (-6,0) e (6,0), usamos a fórmula:
Centro ( -6 + 62, 0 + 02 ) = (0, 0)
Então, o centro da hipérbole é na origem, (0,0).

Passo 3

Como os vértices estão alinhados ao longo do eixo x, sabemos que a hipérbole abre para a esquerda e para a direita. A forma padrão da equação da hipérbole com centro na origem e abrindo horizontalmente é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro a cada vértice. Como os vértices estão em (-6,0) e (6,0), temos a = 6.

Passo 4

Agora, vamos descobrir o valor de b. Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole na forma que estamos usando são dadas por:
y = pm ba x
No nosso caso, as assíntotas são 6y = 7x e 6y = -7x. Vamos reescrever essas equações na forma padrão dividindo ambos os lados por 6:
y = 76x e y = -76x
Comparando com a forma das assíntotas y = pm ba x, vemos que:
ba = 76 implies b = a cdot 76 = 6 cdot 76 = 7
Então, b = 7.

Passo 5

Agora que temos os valores de a e b, podemos montar a equação da hipérbole. Lembrando que:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo a = 6 e b = 7 na equação:
x^26^2 - y^27^2 = 1 implies x^236 - y^249 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^236 - y^249 = 1

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