Deduzir a equação da hipérbole de vértices em
e
e assintotas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem vértices em
e
, e cujas assíntotas são
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles, como a identificação do centro, dos vértices, e das assíntotas, além de montar a equação padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices estão em
e
. O centro da hipérbole é o ponto médio entre os vértices. Para encontrar o ponto médio entre
e
, usamos a fórmula:
Então, o centro da hipérbole é na origem,
.
Passo 3
Como os vértices estão alinhados ao longo do eixo x, sabemos que a hipérbole abre para a esquerda e para a direita. A forma padrão da equação da hipérbole com centro na origem e abrindo horizontalmente é:
Aqui,
é a distância do centro a cada vértice. Como os vértices estão em
e
, temos
.
Passo 4
Agora, vamos descobrir o valor de
. Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole na forma que estamos usando são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
e
. Vamos reescrever essas equações na forma padrão dividindo ambos os lados por 6:
Comparando com a forma das assíntotas
, vemos que:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos montar a equação da hipérbole. Lembrando que:
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A equação da hipérbole é: