Achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pelas equações paramétricas:
no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como encontrar as retas tangente e normal a uma curva nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Basta substituir nas equações paramétricas:
Então, o ponto na curva é .
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pelas derivadas das funções paramétricas em relação a . Vamos calcular , e :
Em :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral da equação de uma reta no espaço é:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrá-la, precisamos de um vetor normal. Em curvas no espaço, geralmente consideramos a normal em relação à orientação da curva, mas aqui, podemos considerar que a normal será perpendicular ao vetor tangente.
No entanto, em 3D, há infinitas direções perpendiculares a um vetor. Então, para especificar uma reta normal, precisamos de mais informações ou assumir uma direção específica. Vamos supor que queremos a normal no mesmo ponto com uma direção perpendicular específica.
Uma abordagem comum é utilizar outra derivada ou considerar uma normal baseada no vetor binormal, mas para simplificar, vamos considerar que a normal terá uma direção perpendicular específica escolhida.
Por simplicidade, vamos escolher a normal com direção , que é perpendicular a . Então:
Passo 6
Agora, usando o ponto e o vetor normal , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal: