Justifique porque a função
f(x, y)=lll x y^3x^2+y^6, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
não é diferenciável na origem.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras: uma para todos os pontos diferentes de e outra específica para . O conteúdo aqui é sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é diferenciável na origem analisando sua continuidade e as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, uma função ser diferenciável em um ponto requer que ela seja contínua nesse ponto. Então, vamos começar verificando se é contínua em .

Passo 3

Para testar a continuidade, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x y^3x^2+y^6
Podemos tentar diferentes caminhos para ver se o limite depende da direção.

Passo 5

Vamos considerar o caminho onde x (x^1/3)^3x^2 + (x^1/3)^6 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 . Substituindo na função:
Nesse caminho, o limite é , que é diferente de 0.

Passo 6

Como encontramos um caminho onde o limite de não é igual a , isso significa que o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem porque não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados