Justifique porque a função
não é diferenciável na origem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras: uma para todos os pontos diferentes de
e outra específica para
. O conteúdo aqui é sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se a função é diferenciável na origem analisando sua continuidade e as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, uma função ser diferenciável em um ponto requer que ela seja contínua nesse ponto. Então, vamos começar verificando se
é contínua em
.
Passo 3
Para testar a continuidade, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Podemos tentar diferentes caminhos para ver se o limite depende da direção.
Passo 5
Vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Nesse caminho, o limite é
, que é diferente de 0.
Passo 6
Como encontramos um caminho onde o limite de
não é igual a
, isso significa que o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua na origem.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem porque não é contínua nesse ponto.