Beleza, vamos lá! A gente tem a função e uma curva definida por . A missão aqui é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto (1,1), ou seja, . Pra resolver isso, a gente vai precisar saber sobre derivadas parciais e como elas funcionam quando uma variável depende de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a é como se a gente estivesse só variando o e mantendo o fixo. Matematicamente, isso é representado por .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que é tratada como constante nessa derivada parcial.
Passo 4
Agora, sabemos que na curva , o valor de depende do . Para encontrar , precisamos considerar essa dependência. Basicamente, estamos interessados em como varia quando varia, levando em conta que também muda conforme .
Passo 5
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas. A derivada total de em relação a é:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada de em relação a .
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na expressão da derivada total: