Seja f(x, y)=x^2+y^2. Considere a curva y=phi(x)=x^3 e calcule:
a) partial zpartial x(1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e uma curva definida por . A missão aqui é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto (1,1), ou seja, . Pra resolver isso, a gente vai precisar saber sobre derivadas parciais e como elas funcionam quando uma variável depende de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a é como se a gente estivesse só variando o e mantendo o fixo. Matematicamente, isso é representado por .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = 2x em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que é tratada como constante nessa derivada parcial.

Passo 4

Agora, sabemos que na curva , o valor de depende do . Para encontrar , precisamos considerar essa dependência. Basicamente, estamos interessados em como varia quando varia, levando em conta que também muda conforme .

Passo 5

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas. A derivada total de dzdx = partial fpartial x + partial fpartial y cdot dydx em relação a é:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 2y
dydx = ddx(x^3) = 3x^2

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão da derivada total:
dzdx = 2x + 2y cdot 3x^2 = 2x + 6x^2 y

Passo 8

No ponto (1,1), substituímos dzdxg|(1,1) = 2(1) + 6(1)^2(1) = 2 + 6 = 8 e :

Resposta

Então, .

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