Calcule a transformada de Laplace pela definição Lf(t)=integral0^infty e^-s t f(t) d t : f(t)=rr-1, & 0 <= t<1 1, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a transformada de Laplace. O enunciado nos pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t) = -1, & 0 <= t < 1 1, & t >= 1 definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Vamos utilizar a definição da transformada de Laplace:
Para isso, precisamos entender como a função está definida em diferentes intervalos de e então calcular a integral nas partes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde Lf(t) = integral0^1 e^-s t (-1) , dt + integral1^infty e^-s t (1) , dt tem valores diferentes. A função é de até e para . Então, podemos escrever:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
integral0^1 e^-s t (-1) , dt = -integral0^1 e^-s t , dt
A integral de integral e^-s t , dt = -1s e^-s t + C em relação a -[ -1s e^-s t ]0^1 = 1s ( e^-s cdot 1 - e^-s cdot 0 ) = 1s (e^-s - 1) é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral1^infty e^-s t (1) , dt = integral1^infty e^-s t , dt
A integral de integral1^infty e^-s t , dt = [ -1s e^-s t ]1^infty = 0 - ( -1s e^-s cdot 1 ) = 1s e^-s de 1 até o infinito é:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Lf(t) = 1s (e^-s - 1) + 1s e^-s = 1s (e^-s - 1 + e^-s) = 1s (2 e^-s - 1)

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(t) = 2 e^-s - 1s é:

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