Calcule a transformada de Laplace pela definição :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a transformada de Laplace. O enunciado nos pede para calcular a transformada de Laplace da função definida por:
Vamos utilizar a definição da transformada de Laplace:
Para isso, precisamos entender como a função está definida em diferentes intervalos de e então calcular a integral nas partes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde tem valores diferentes. A função é de até e para . Então, podemos escrever:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
A integral de de 1 até o infinito é:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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não é diferenciável na origem.
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no ponto .
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