Ache a equação do plano tangente à superfície regular no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função que define a superfície no ponto dado, pois o gradiente nos dá um vetor normal à superfície naquele ponto. Com esse vetor normal e o ponto, podemos montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação da superfície como . O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de e é perpendicular à superfície.
Passo 3
Calculamos o gradiente de . Lembrando que o gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada:
Portanto,
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto dado :
Esse vetor é normal ao plano tangente na superfície em .
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , usamos a equação do plano na forma:
Onde é um ponto genérico no plano e é o ponto dado. Expandindo o produto escalar:
Passo 6
Simplificamos a equação:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos por 2:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: