Ache a equação do plano tangente à superfície regular
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função que define a superfície no ponto dado, pois o gradiente nos dá um vetor normal à superfície naquele ponto. Com esse vetor normal e o ponto, podemos montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação da superfície como
. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de
e é perpendicular à superfície.
Passo 3
Calculamos o gradiente
de
. Lembrando que o gradiente é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada:
Portanto,
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto dado
:
Esse vetor
é normal ao plano tangente na superfície em
.
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto
, usamos a equação do plano na forma:
Onde
é um ponto genérico no plano e
é o ponto dado. Expandindo o produto escalar:
Passo 6
Simplificamos a equação:
Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos por 2:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: