Achar as equações das tangentes à elipse 4 x^2 + 9 y^2 = 40 cujos coeficientes angulares valem m = -2/9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar as equações das tangentes à elipse que têm coeficiente angular . Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com a geometria analítica, especificamente com elipses e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da reta tangente à uma elipse dado o coeficiente angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral da elipse centrada na origem: . No nosso caso, temos . Vamos reescrever isso na forma padrão dividindo ambos os lados por 40:
Então, e .

Passo 3

A fórmula da reta tangente à elipse com coeficiente angular é dada por:
Aqui, , , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculemos dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, temos duas opções para as tangentes:
Essas são as duas retas tangentes à elipse com o coeficiente angular dado.

Resposta

As equações das tangentes são:
e

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