Achar as equações das tangentes à elipse
cujos coeficientes angulares valem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar as equações das tangentes à elipse
que têm coeficiente angular
. Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com a geometria analítica, especificamente com elipses e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da reta tangente à uma elipse dado o coeficiente angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral da elipse centrada na origem:
. No nosso caso, temos
. Vamos reescrever isso na forma padrão dividindo ambos os lados por 40:
Então,
e
.
Passo 3
A fórmula da reta tangente à elipse
com coeficiente angular
é dada por:
Aqui,
,
, e
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculemos dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, temos duas opções para as tangentes:
Essas são as duas retas tangentes à elipse com o coeficiente angular dado.
Resposta
As equações das tangentes são:
e
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onde:
, no ponto
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, onde
.