Calcule integral duplaR y sen(x y) d A, onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a dupla integral , onde a região é o retângulo . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a dupla integral como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em integral1^2 ( integral0^pi y sen(x y) , dy ) dx de 0 a e depois em de 1 a 2:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna . Para resolver isso, usamos o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos e .

Passo 4

Calculamos du = dy e v = -cos(x y)x :
integral y sen(x y) , dy = -y cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Resolvemos a segunda integral integral cos(x y) , dy = sen(x y)x :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão de [ -pi cos(x pi)x + sen(x pi)x^2 ] - [ 0 + 0 ] = -pi cos(x pi)x + sen(x pi)x^2 a :

Passo 7

Substituímos de volta na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração adicionais, como substituição ou integração por partes novamente, se necessário.

Resposta

A dupla integral é igual a:
Esse valor representa a área sob a superfície sobre a região integral1^2 ( -pi cos(x pi)x + sen(x pi)x^2 ) dx .

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