Calcular
onde:
, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
no ponto
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, e saber a derivada da função arco seno (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do arco seno. Vamos chamar:
Então, a função original fica:
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra da cadeia, que diz que:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Podemos reescrever
como:
Usando a regra do produto, temos:
Calculando cada parte:
Então:
Podemos juntar os termos:
Passo 4
Agora, voltando à derivada de
:
Substituindo
e
:
Então:
Portanto:
Assim:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos substituir
na expressão de
:
Calculando passo a passo:
Então:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
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onde:
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onde:
Achar as equações das tangentes à elipse
cujos coeficientes angulares valem
.
Calcular
onde: