Achar as equações das tangentes ao gráfico de
que passam por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está pedindo no exercício. Queremos encontrar as equações das tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a inclinação dessas tangentes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar, vamos reescrever a função como
.
Passo 3
Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia para derivar:
Então, a inclinação da tangente em qualquer ponto
é
.
Passo 4
Vamos considerar um ponto qualquer
na curva onde a tangente toca. A equação da reta tangente nesse ponto é:
Sabemos que essa reta passa pelo ponto
. Vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação da reta:
Sabemos que
e
. Substituindo isso:
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 7
Isolando a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 9
Vamos encontrar as equações das tangentes usando a fórmula da reta:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
As equações das tangentes são
e
.
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Sela
.
Calcular e
.
Calcular
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Encontre
e
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