Achar as equações das tangentes ao gráfico de que passam por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está pedindo no exercício. Queremos encontrar as equações das tangentes ao gráfico de que passam pelo ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a inclinação dessas tangentes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar, vamos reescrever a função como .

Passo 3

Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia para derivar:
Então, a inclinação da tangente em qualquer ponto é .

Passo 4

Vamos considerar um ponto qualquer na curva onde a tangente toca. A equação da reta tangente nesse ponto é:
Sabemos que essa reta passa pelo ponto . Vamos substituir e na equação da reta para encontrar .

Passo 5

Substituindo os valores na equação da reta:
Sabemos que e . Substituindo isso:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar a raiz:
Simplificando:

Passo 7

Isolando a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então:

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes:
Para :
Para :

Passo 9

Vamos encontrar as equações das tangentes usando a fórmula da reta:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

As equações das tangentes são e .

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Sela .
Calcular e .
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
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Encontre e .