Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é para encontrar a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas pelo limite, e vamos precisar entender como aplicar a definição básica de derivada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função em um ponto. A derivada de
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
no ponto
. Primeiro, vamos encontrar
:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos montar a expressão dentro do limite da definição da derivada:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, subtraímos 1 da fração:
Passo 7
Agora, percebemos que o
no numerador e no denominador cancela:
Passo 8
Por fim, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
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Seja
uma função tal que
. Sabendo-se que
, calcule
. Deduza que se
é derivável em
então
é derivável em qualquer
e vale a fórmula
.
Sela
.
Calcular e
.
Calcular
Achar as equações das tangentes ao gráfico de
que passam por
.