Encontre f'(x) e f''(x).
f(x) = x^2 / (1 + 2x)

Passo 1

Resumo da questão: Queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, usamos a regra do quociente, que é utilizada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A regra do quociente diz que se , então
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar .
Temos:
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão.

Passo 7

Definindo:
Derivando e :

Passo 8

Aplicando a regra do quociente para :

Passo 9

Simplificando o numerador:
Portanto,

Resposta

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