Sela f(x) = { x^2 - 1, se |x| <= 1; 1 - x^2, se |x| > 1 }.
Calcular f-'(-1), f+'(-1), f-'(1) e f+'(1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício envolvendo derivadas laterais de uma função definida por partes. A função dada é:
O objetivo é calcular as derivadas à esquerda e à direita nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivadas laterais e como aplicá-las a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada à esquerda de uma função em um ponto , , é o limite da derivada quando nos aproximamos de pelo lado esquerdo. Similarmente, a derivada à direita, , é o limite quando nos aproximamos pelo lado direito.
Matematicamente, temos:

Passo 3

Vamos começar calculando . Aqui, estamos interessados na derivada pela esquerda de .
Para próximo a pelo lado esquerdo, , então usamos a segunda parte da função:
A derivada dessa parte é:
Agora, avaliando em :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada pela direita de .
Para próximo a pelo lado direito, , então usamos a primeira parte da função:
A derivada dessa parte é:
Avaliando em :

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada pela esquerda de .
Para próximo a pelo lado esquerdo, , então usamos a primeira parte da função:
A derivada dessa parte é:
Avaliando em :

Passo 6

Por fim, vamos calcular , a derivada pela direita de .
Para próximo a pelo lado direito, , então usamos a segunda parte da função:
A derivada dessa parte é:
Avaliando em :

Resposta

As derivadas laterais são:

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