(a) Achar a expressão da velocidade da partícula cuja posição está dada no Problema 10. (b) Qual a velocidade no instante ? © Qual a velocidade máxima? (d) Em que instante depois de a partícula tem, pela primeira vez, este máximo de velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a velocidade de uma partícula cujo movimento está descrito no Problema 10. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que vamos precisar derivar a função de posição para encontrar a velocidade. Vamos precisar da expressão da posição em termos do tempo para começar.

Passo 2

Primeiro, para achar a expressão da velocidade, precisamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição da partícula é dada por , então a velocidade é:
Então, basta derivar a função de posição fornecida no Problema 10 em relação a .

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade no instante , substituímos na expressão da velocidade que encontramos:
Calcupe essa derivada no instante inicial para obter o valor da velocidade nesse momento.

Passo 4

Para determinar qual é a velocidade máxima, precisamos analisar a função da velocidade . A velocidade máxima ocorre onde a derivada da velocidade em relação ao tempo é zero, ou seja, onde a aceleração é zero. Então, encontramos o valor de que satisfaz:
Depois de encontrar esse valor de , substituímos de volta na expressão de para obter a velocidade máxima.

Passo 5

Por fim, para saber em que instante depois de a partícula atinge pela primeira vez a velocidade máxima, resolvemos a equação da derivada da velocidade que iguala a zero e verificamos qual solução é positiva (após ). Esse valor de será o instante desejado.

Resposta

Seguindo esses passos com a função de posição específica do Problema 10, você conseguirá encontrar a expressão da velocidade, calcular a velocidade no instante inicial, determinar a velocidade máxima e identificar o instante em que essa velocidade máxima ocorre pela primeira vez.

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