Em uma região do espaço livre da cargas e correntes, o campo elétrico em um dado instante é E= (80,0 imath+32,0 jmath-64,0 k) N / C e o campo magnético é B=(0,200 imath+0,080 jmath+0,290 k) mu T. Determine o vetor de Poynting para estes campos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de eletromagnetismo onde precisamos encontrar o vetor de Poynting para dois campos: o elétrico ( E) e o magnético ( B). O vetor de Poynting nos mostra a direção e a intensidade da energia que está se propagando naquele espaço. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial entre os campos elétrico e magnético e aplicar a constante do vácuo ( mu0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do vetor de Poynting:
S = 1mu0 , E times B
Onde:
  • S é o vetor de Poynting.
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A).
  • E é o campo elétrico.
  • B é o campo magnético.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dos vetores E e B:
E = (80,0 , imath + 32,0 , jmath - 64,0 , k) , N/C
B = (0,200 , imath + 0,080 , jmath + 0,290 , k) , muT
Para facilitar a conta, vamos converter muT para Tesla:
B = (0,200 times 10^-6 , imath + 0,080 times 10^-6 , jmath + 0,290 times 10^-6 , k) , T

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial E times B. Lembrando que:
E times B = imath & jmath & k Ex & Ey & Ez Bx & By & Bz
Vamos montar a matriz:
E times B = imath cdot (32,0 times 0,290 times 10^-6 - (-64,0) times 0,080 times 10^-6) - jmath cdot (80,0 times 0,290 times 10^-6 - (-64,0) times 0,200 times 10^-6) + k cdot (80,0 times 0,080 times 10^-6 - 32,0 times 0,200 times 10^-6)

Passo 5

Vamos calcular cada componente:
Componente imath:
32,0 times 0,290 times 10^-6 - (-64,0) times 0,080 times 10^-6 = (9,28 times 10^-6) + (5,12 times 10^-6) = 14,40 times 10^-6 , T·N/C
Componente jmath:
80,0 times 0,290 times 10^-6 - (-64,0) times 0,200 times 10^-6 = (23,20 times 10^-6) + (12,80 times 10^-6) = 36,00 times 10^-6 , T·N/C
Componente k:
80,0 times 0,080 times 10^-6 - 32,0 times 0,200 times 10^-6 = (6,40 times 10^-6) - (6,40 times 10^-6) = 0 , T·N/C
Então, o produto vetorial fica:
E times B = imath cdot 14,40 times 10^-6 - jmath cdot 36,00 times 10^-6 + k cdot 0 = (14,40 times 10^-6 , imath - 36,00 times 10^-6 , jmath) , T·N/C

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do vetor de Poynting:
S = 1mu0 , E times B
Substituindo mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A:
S = 14pi times 10^-7 times (14,40 times 10^-6 , imath - 36,00 times 10^-6 , jmath)

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
Componente imath:
14,40 times 10^-64pi times 10^-7 = 14,404pi times 10^1 approx 14,4012,566 times 10 approx 1,146 times 10 approx 11,46 , W/m^2
Componente jmath:
-36,00 times 10^-64pi times 10^-7 = -36,004pi times 10^1 approx -36,0012,566 times 10 approx -2,866 times 10 approx -28,66 , W/m^2

Resposta

O vetor de Poynting é dado por:
S approx (11,46 , imath - 28,66 , jmath) , W/m^2

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