Um corpo, preso a uma mola horizontal, oscila com o período de 4 s. Se o corpo for pendurado na mola vertical, de quanto será a mola esticada em relação ao seu comprimento natural, com o corpo no equilíbrio?
Passo 1
Vamos lá! Temos um corpo preso a uma mola que, inicialmente, está na posição horizontal e faz oscilações com um período de 4 segundos. O conteúdo envolvido aqui é o movimento harmônico simples e as propriedades das molas. Para resolver esse problema, vamos precisar usar fórmulas que relacionam o período das oscilações com a constante da mola e, depois, calcular quanto a mola se estica quando o corpo está pendurado nela verticalmente no equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de oscilações de uma mola é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o período das oscilações, -
é a massa do corpo, -
é a constante da mola.
Nosso objetivo aqui é encontrar a constante da mola
, já que o período
é conhecido (4 segundos).
Passo 3
Vamos isolar
na fórmula do período. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Agora, resolvemos para
:
Passo 4
Com a constante
conhecida, vamos calcular o quanto a mola se estica quando o corpo é pendurado verticalmente. No equilíbrio, a força da mola iguala o peso do corpo:
Onde:
-
é a extensão da mola, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Vamos isolar
:
Passo 5
Substituindo o valor de
que encontramos anteriormente:
Notamos que a massa
se cancela, o que significa que a extensão da mola depende apenas do período das oscilações e da gravidade.
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Calculando isso:
Resposta
A mola será esticada aproximadamente 3,97 metros em relação ao seu comprimento natural quando o corpo estiver pendurado no equilíbrio.