Achar f(t) na equação integral de Volterra f(t)=3 t^2-e^-t-integral0^t f(u) e^t-u d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função f(t) = 3 t^2 - e^-t - integral0^t f(u) e^t-u , du numa equação integral de Volterra do tipo:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, Equações Integrais de Volterra. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo para transformar essa equação integral em uma diferencial e, assim, encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação integral de Volterra. Ela relaciona a função desconhecida com uma integral que vai de um ponto fixo (aqui, 0) até a variável . Para resolver isso, uma estratégia é diferenciar ambos os lados da equação com respeito a . Isso vai nos ajudar a eliminar a integral e transformar a equação em uma equação diferencial, que é geralmente mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação original:
ddtf(t) = ddt(3 t^2 - e^-t) - ddt(integral0^t f(u) e^t-u , du)
Calculando as derivadas:
f'(t) = 6t + e^-t - [ f(t) e^t-t + integral0^t f(u) e^t-u , du ]
Simplificando f'(t) = 6t + e^-t - f(t) - integral0^t f(u) e^t-u , du :

Passo 4

Agora, vamos usar a equação original para substituir a integral. Da equação inicial:
f(t) = 3 t^2 - e^-t - integral0^t f(u) e^t-u , du
Isolando a integral:
integral0^t f(u) e^t-u , du = 3 t^2 - e^-t - f(t)
Substituindo na expressão de f'(t) = 6t + e^-t - f(t) - (3 t^2 - e^-t - f(t)) :
f'(t) = 6t + e^-t - f(t) - 3 t^2 + e^-t + f(t)
Simplificando:
f'(t) = -3 t^2 + 6t + 2 e^-t
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
f'(t) = -3 t^2 + 6t + 2 e^-t
Vamos integrar ambos os lados para encontrar f(t) = integral (-3 t^2 + 6t + 2 e^-t) , dt + C :
f(t) = -t^3 + 3 t^2 - 2 e^-t + C
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar o valor de f(0) = 3 (0)^2 - e^0 - integral0^0 f(u) e^0-u , du = -1 , vamos usar a condição inicial obtida da equação original. Quando -0 + 0 - 2 (1) + C = -1 implies -2 + C = -1 implies C = 1 :
Substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, a função solução é:
f(t) = 1 - t^3 + 3 t^2 - 2 e^-t

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