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na equação integral de Volterra
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função
numa equação integral de Volterra do tipo:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, Equações Integrais de Volterra. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo para transformar essa equação integral em uma diferencial e, assim, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação integral de Volterra. Ela relaciona a função desconhecida
com uma integral que vai de um ponto fixo (aqui, 0) até a variável
. Para resolver isso, uma estratégia é diferenciar ambos os lados da equação com respeito a
. Isso vai nos ajudar a eliminar a integral e transformar a equação em uma equação diferencial, que é geralmente mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação original:
Calculando as derivadas:
Simplificando
:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação original para substituir a integral. Da equação inicial:
Isolando a integral:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar o valor de
, vamos usar a condição inicial obtida da equação original. Quando
:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
Portanto, a função solução é: