Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que vamos descobrir.
Passo 3
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica :
Então, os valores de são 1, -1, e .
Passo 5
Com os valores de , a solução geral da EDO é:
Onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de :
Passo 7
Agora, aplicamos nas equações:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema de equações:
Somando a equação 1 e 3:
Substituindo na equação 2:
E na equação 4:
Substituindo na equação :
Então, e .
Substituindo e na equação 1:
Resposta
Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos: