Resolver a EDO , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica :
Então, os valores de são 1, -1, e .

Passo 5

Com os valores de , a solução geral da EDO é:
Onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de :

Passo 7

Agora, aplicamos nas equações:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema de equações:
Somando a equação 1 e 3:
Substituindo na equação 2:
E na equação 4:
Substituindo na equação :
Então, e .
Substituindo e na equação 1:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos:

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