Resolver a EDO , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa EDO com as condições iniciais . Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem e de coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação levando em conta as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Ao substituir na equação homogênea, teremos:
Como nunca é zero, temos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo , encontramos as raízes:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo não homogêneo é , que já é uma solução da homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular:

Passo 5

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na EDO:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes e .
Primeiro, para :
Derivando :
Para :
Derivando novamente para e substituindo , obtemos outra equação que nos permitirá resolver para e .
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução da EDO com as condições iniciais é:

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Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .
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senht, com e .
Resolver a EDO , com e .
Achar na equação integral de Volterra .