Resolver a EDO
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa EDO
com as condições iniciais
. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem e de coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação levando em conta as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Ao substituir na equação homogênea, teremos:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo
, encontramos as raízes:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, que já é uma solução da homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular:
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na EDO:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes
e
.
Primeiro, para
:
Derivando
:
Para
:
Derivando novamente para
e substituindo
, obtemos outra equação que nos permitirá resolver para
e
.
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução da EDO
com as condições iniciais
é:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com
e
.
Resolver a EDO
, com
e
.
Achar
na equação integral de Volterra
.