Resolver o sistema de EDOs

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que envolve duas funções, e . O objetivo aqui é encontrar essas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com sistemas lineares de EDOs e usar métodos como eliminação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema para conseguir uma equação que só envolva uma das funções, por exemplo, . Pra isso, vamos derivar a primeira equação em relação a :
Mas da segunda equação do sistema sabemos que:
Então, substituindo:

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é:
Então, a solução geral da homogênea é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante:
Substituindo na equação:

Passo 5

A solução geral de é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 6

Agora, vamos usar a primeira equação do sistema para encontrar :
Calculando a derivada de :
Então:

Resposta

As soluções do sistema são:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

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