Resolver a EDO
, onde
com
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. Aqui,
é uma função que é
quando
e 0 quando
. Além disso, as condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação usando conceitos de equações diferenciais lineares e forçadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes do polinômio característico. Aqui, o polinômio é
, que tem raízes complexas:
. Então, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como
é
para
e 0 para
, precisamos considerar duas situações.
Para
:
A equação fica . Mas observe que
já é uma solução da homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular:
A equação fica
Derivando e substituindo na equação, podemos encontrar
e
.
Para
:
A equação se torna , que já resolvemos na parte homogênea.
A equação se torna
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais
e
na solução geral para
.
Para
:
Para
:
Primeiro, derivamos :
Primeiro, derivamos
Então,
⇒
Passo 5
Com
e
, a solução para
fica:
Para encontrar
e
, substituímos
na equação diferencial e resolvemos.
Passo 6
Após resolver para
e
, obtemos a solução completa para
. Para
, a função
, então a solução é apenas a homogênea:
As constantes
e
são determinadas garantindo a continuidade de
e
em
.
Resposta
A solução da equação diferencial dada, considerando as condições iniciais e a função por partes
, é encontrada aplicando métodos de superposição para
e a solução homogênea para
, ajustando as constantes para garantir continuidade em
.
Exercícios relacionados
Achar
na equação integral de Volterra
.
Resolver a EDO
, com
e
.
Resolver o sistema de EDOs
Resolver o sistema
com
e
.