Resolver a EDO , onde com e .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: . Aqui, é uma função que é quando e 0 quando . Além disso, as condições iniciais são e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação usando conceitos de equações diferenciais lineares e forçadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução geral dessa equação é baseada nas raízes do polinômio característico. Aqui, o polinômio é , que tem raízes complexas: . Então, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como é para e 0 para , precisamos considerar duas situações.
Para :
A equação fica . Mas observe que já é uma solução da homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular:
Derivando e substituindo na equação, podemos encontrar e .
Para :
A equação se torna , que já resolvemos na parte homogênea.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais e na solução geral para .
Para :
Para :
Primeiro, derivamos :
Então,

Passo 5

Com e , a solução para fica:
Para encontrar e , substituímos na equação diferencial e resolvemos.

Passo 6

Após resolver para e , obtemos a solução completa para . Para , a função , então a solução é apenas a homogênea:
As constantes e são determinadas garantindo a continuidade de e em .

Resposta

A solução da equação diferencial dada, considerando as condições iniciais e a função por partes , é encontrada aplicando métodos de superposição para e a solução homogênea para , ajustando as constantes para garantir continuidade em .

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