Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
. Dica: Fazer
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar EDOs no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos também considerar as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
E para a derivada primeira:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas:
Agora, vamos simplificar os termos:
Passo 4
Agrupando os termos com
:
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Para simplificar, vamos escrever
de forma mais clara:
Isso pode parecer complicado, mas o próximo passo é realizar a inversão da transformada de Laplace para encontrar
.
Passo 7
Antes de inverter, podemos simplificar o denominador. Observe que:
Então, o denominador fica:
Agora, nossa expressão para
é:
Passo 8
Para encontrar
, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e propriedades de convolução. A inversão dessa expressão resulta em funções envolvendo exponenciais e senos/cossenos multiplicados por polinômios em
.
Após realizar os cálculos (que envolvem fracionamento em frações parciais e aplicação da transformada inversa), obtemos a solução geral da EDO.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde os términos particulares são encontrados aplicando a transformada inversa de Laplace e dependem das condições iniciais
e
. Portanto, a solução completa combina a parte homogênea com a particular.
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
sent
, com
.