Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
y'' + 4y' + 5y = 12e^(-2x)cos(x). Dica: Fazer y(0) = a e y'(0) = b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar EDOs no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos também considerar as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
E para a derivada primeira:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas:
Agora, vamos simplificar os termos:

Passo 4

Agrupando os termos com :
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Aqui, e , então:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar :

Passo 6

Para simplificar, vamos escrever de forma mais clara:
Isso pode parecer complicado, mas o próximo passo é realizar a inversão da transformada de Laplace para encontrar y(x).

Passo 7

Antes de inverter, podemos simplificar o denominador. Observe que:
Então, o denominador fica:
Agora, nossa expressão para é:

Passo 8

Para encontrar y(x), vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e propriedades de convolução. A inversão dessa expressão resulta em funções envolvendo exponenciais e senos/cossenos multiplicados por polinômios em x.
Após realizar os cálculos (que envolvem fracionamento em frações parciais e aplicação da transformada inversa), obtemos a solução geral da EDO.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde os términos particulares são encontrados aplicando a transformada inversa de Laplace e dependem das condições iniciais a e b. Portanto, a solução completa combina a parte homogênea com a particular.

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