Achar f(t) nas seguintes equações integrais de Volterra:
f(t)=cost+integral0^t e^-u f(t-u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar a função f(t) = cos t + integral0^t e^-u f(t - u) , du que satisfaz a equação integral de Volterra:
Aqui, estamos lidando com equações integrais, especificamente do tipo de Volterra, onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que facilita trabalhar com integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma função Lf(t) = F(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida como:
Lf(t) = Lcos t + Lintegral0^t e^-u f(t - u) , du
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da função Lcos t = ss^2 + 1 é:
Lintegral0^t e^-u f(t - u) , du = Le^-t cdot Lf(t) = 1s + 1 F(s)
Agora, para a integral convolucional , usamos a propriedade de convolução da transformada de Laplace, que diz que:

Passo 4

Agora, substituímos tudo de volta na equação transformada:
F(s) = ss^2 + 1 + 1s + 1 F(s)
Queremos isolar F(s) - 1s + 1 F(s) = ss^2 + 1 , então vamos rearranjar os termos:
F(s) (1 - 1s + 1) = ss^2 + 1
Fatorando F(s) (s + 1 - 1s + 1) = ss^2 + 1 implies F(s) (ss + 1) = ss^2 + 1 do lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:

Passo 5

Agora, isolamos F(s) = ss^2 + 1 cdot s + 1s = s + 1s^2 + 1 :
F(s) = ss^2 + 1 + 1s^2 + 1
Simplificando mais:
Lcos t = ss^2 + 1 e Lsin t = 1s^2 + 1
Sabemos que:
f(t) = cos t + sin t
Então, revertendo para o domínio do tempo:

Resposta

f(t) = cos t + sin t

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