Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação integral de Volterra:
Aqui, estamos lidando com equações integrais, especificamente do tipo de Volterra, onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que facilita trabalhar com integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma função é definida como:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da função é:
Agora, para a integral convolucional , usamos a propriedade de convolução da transformada de Laplace, que diz que:

Passo 4

Agora, substituímos tudo de volta na equação transformada:
Queremos isolar , então vamos rearranjar os termos:
Fatorando do lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:

Passo 5

Agora, isolamos :
Simplificando mais:
Sabemos que:
Então, revertendo para o domínio do tempo:

Resposta

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .