Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação integral de Volterra:
Aqui, estamos lidando com equações integrais, especificamente do tipo de Volterra, onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que facilita trabalhar com integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma função
é definida como:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace da função
é:
Agora, para a integral convolucional
, usamos a propriedade de convolução da transformada de Laplace, que diz que:
Passo 4
Agora, substituímos tudo de volta na equação transformada:
Queremos isolar
, então vamos rearranjar os termos:
Fatorando
do lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Simplificando mais:
Sabemos que:
Então, revertendo para o domínio do tempo:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.