Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e pede pra gente resolver usando a transformada de Laplace. As equações são:
E as condições iniciais são: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar as transformadas de Laplace das funções e suas derivadas. A transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
E para a segunda derivada:

Passo 3

Aplicando a transformada na primeira equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Com os valores iniciais e :

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada na segunda equação :
Substituindo pelas fórmulas:
Novamente, com e :

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações algébricas em e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Da primeira equação:
Vamos chamar essa de Equação (1).

Passo 7

Da segunda equação:
Vamos chamar essa de Equação (2).

Passo 8

Agora, podemos expressar da Equação (1):
E substituir na Equação (2):

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Isolando :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 11

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para cada termo de :

Passo 12

Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 13

Agora, usando a Equação (1) para encontrar :
Substituindo e aplicando a transformada inversa, obtemos:

Resposta

As soluções das EDOs são:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.