Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e pede pra gente resolver usando a transformada de Laplace. As equações são:
E as condições iniciais são:
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as transformadas de Laplace das funções e suas derivadas. A transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Aplicando a transformada na primeira equação
:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Com os valores iniciais
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada na segunda equação
:
Substituindo pelas fórmulas:
Novamente, com
e
:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações algébricas em
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Da primeira equação:
Vamos chamar essa de Equação (1).
Passo 7
Da segunda equação:
Vamos chamar essa de Equação (2).
Passo 8
Agora, podemos expressar
da Equação (1):
E substituir na Equação (2):
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Isolando
:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 11
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para cada termo de
:
-
→ -
→ -
→ -
→ -
→
Passo 12
Somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 13
Agora, usando a Equação (1) para encontrar
:
Substituindo
e aplicando a transformada inversa, obtemos:
Resposta
As soluções das EDOs são: