Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO) que está na forma:
Com as condições iniciais e . Pra resolver isso, vamos usar o teorema de convolução, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs com termos não homogêneos, ou seja, quando tem um separando a equação. Vamos precisar entender um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicar a convolução no contexto de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida encontrando a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) mais uma solução particular que leva em conta o presente.
A equação homogênea associada é:
Vamos resolver essa parte primeiro.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos para a parte não homogênea da equação, que envolve . Para encontrar a solução particular , vamos usar o teorema de convolução. Esse teorema basicamente nos permite encontrar a resposta de um sistema linear invariante no tempo (como nossa EDO) a uma entrada usando a função de resposta ao impulso (função de transferência).
Primeiramente, precisamos saber a função de transferência da nossa EDO. Para isso, usamos as Transformadas de Laplace.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na EDO:
Sabendo que:
Com as condições iniciais e , simplificamos para:

Passo 6

A solução no domínio do tempo é obtida aplicando a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
Então, temos:
A função de resposta ao impulso é a Transformada Inversa de:
Que é:

Passo 7

Agora, aplicando o teorema de convolução, a solução particular é dada por:
Substituindo por :
Fazendo uma mudança de variável , temos:

Resposta

Portanto, a solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .