Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO) que está na forma:
Com as condições iniciais
e
. Pra resolver isso, vamos usar o teorema de convolução, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs com termos não homogêneos, ou seja, quando tem um
separando a equação. Vamos precisar entender um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicar a convolução no contexto de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida encontrando a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) mais uma solução particular que leva em conta o
presente.
A equação homogênea associada é:
Vamos resolver essa parte primeiro.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos para a parte não homogênea da equação, que envolve
. Para encontrar a solução particular
, vamos usar o teorema de convolução. Esse teorema basicamente nos permite encontrar a resposta de um sistema linear invariante no tempo (como nossa EDO) a uma entrada
usando a função de resposta ao impulso (função de transferência).
Primeiramente, precisamos saber a função de transferência da nossa EDO. Para isso, usamos as Transformadas de Laplace.
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace na EDO:
Sabendo que:
Com as condições iniciais
e
, simplificamos para:
Passo 6
A solução no domínio do tempo é obtida aplicando a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
Então, temos:
A função de resposta ao impulso
é a Transformada Inversa de:
Que é:
Passo 7
Agora, aplicando o teorema de convolução, a solução particular
é dada por:
Substituindo
por
:
Fazendo uma mudança de variável
, temos:
Resposta
Portanto, a solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e
, com
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.