Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
y^prime prime+4 y^prime+13 y=f(t), com y(0)=0 e y^prime(0)=0. Resp. y(t)=13 integral0^t f(t-u) e^-2 u sen(3 u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO) que está na forma:
y'' + 4y' + 13y = f(t)
Com as condições iniciais e . Pra resolver isso, vamos usar o teorema de convolução, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs com termos não homogêneos, ou seja, quando tem um separando a equação. Vamos precisar entender um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicar a convolução no contexto de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida encontrando a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( y'' + 4y' + 13y = 0 ) mais uma solução particular que leva em conta o presente.
A equação homogênea associada é:
Vamos resolver essa parte primeiro.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 4r + 13 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz16 - 522 = -4 pm raiz-362 = -4 pm 6i2 = -2 pm 3i
Então, as raízes são complexas: yh(t) = e^-2t(C1 cos(3t) + C2 sin(3t)) . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos para a parte não homogênea da equação, que envolve . Para encontrar a solução particular , vamos usar o teorema de convolução. Esse teorema basicamente nos permite encontrar a resposta de um sistema linear invariante no tempo (como nossa EDO) a uma entrada usando a função de resposta ao impulso (função de transferência).
Primeiramente, precisamos saber a função de transferência da nossa EDO. Para isso, usamos as Transformadas de Laplace.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na EDO:
Ly'' + 4Ly' + 13Ly = Lf(t)
Sabendo que:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Com as condições iniciais s^2Y(s) + 4sY(s) + 13Y(s) = F(s) e Y(s)(s^2 + 4s + 13) = F(s) , simplificamos para:
Y(s) = F(s)s^2 + 4s + 13

Passo 6

A solução no domínio do tempo é obtida aplicando a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
s^2 + 4s + 13 = (s + 2)^2 + 9
Então, temos:
Y(s) = F(s)(s + 2)^2 + 9
A função de resposta ao impulso 1(s + 2)^2 + 9 é a Transformada Inversa de:
h(t) = e^-2t sin(3t)
Que é:

Passo 7

Agora, aplicando o teorema de convolução, a solução particular yp(t) = h(t) * f(t) = integral0^t h(t - tau) f(tau) dtau é dada por:
yp(t) = integral0^t e^-2(t - tau) sin(3(t - tau)) f(tau) dtau
Substituindo yp(t) = integral0^t e^-2u sin(3u) f(t - u) du por :
Fazendo uma mudança de variável , temos:

Resposta

Portanto, a solução da EDO é:
y(t) = 13 integral0^t f(t - u) e^-2u sin(3u) du

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