Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que envolve duas funções, e . A gente precisa achar as funções e que satisfazem as equações dadas e também atendem às condições iniciais e . Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. As equações são:
Podemos representar isso como:
onde

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Os autovalores são soluções da equação característica:
Isso significa calcular o determinante de , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando a equação característica:
Simplificando:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvendo, temos . Escolhendo , o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na primeira:
  1. Então, .

Resposta

As soluções são:

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Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e sent , com e .