Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que envolve duas funções,
e
. A gente precisa achar as funções
e
que satisfazem as equações dadas e também atendem às condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores da matriz do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. As equações são:
Podemos representar isso como:
onde
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são soluções da equação característica:
Isso significa calcular o determinante de
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando a equação característica:
Simplificando:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvendo, temos
. Escolhendo
, o autovetor é
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
. - Substituindo na primeira:
- Então,
.
Resposta
As soluções são:
Exercícios relacionados
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
sent
, com
e
.